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三次方程本文重定向自 三次方程

三次函数的图像。该函数与x轴相交3次说明方程有3个实数根。

三次方程是未知项总次数最高为3的整式方程一元三次方程一般形式为

其中是属于一个的数字,通常这个域为RC

本条目只解释一元三次方程,而且简称之为三次方程。

历史

中国唐朝数学家王孝通在武德九年(626年)前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。

波斯数学家欧玛尔·海亚姆(1048年-1123年)通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则。

在十六世纪早期,意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法,也就是形如的方程。事实上,如果我们允许是复数,所有的三次方程都能变成这种形式,但在那个时候人们不知道复数。

尼科洛·塔尔塔利亚被认为是最早得出三次方程一般解的人。1553年他在一场数学竞赛中解出所有三次方程的问题。随后卡尔丹诺拜访了塔尔塔利亚请教三次方程解法并得到了启发。卡尔丹诺注意到塔尔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算,但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利(Rafael Bombelli)详细地研究了这个问题,并因此被人们认为是复数的发现者。

判别式

时,方程有一个实根和两个共轭复根;

时,方程有三个实根:当

时,方程有一个三重实根;

时,方程的三个实根中有两个相等;

时,方程有三个不等的实根。

三次方程解法

求根公式法

红色字体部分为判别式

时,方程有一个实根和两个共轭复根;

时,方程有三个实根:当

时,方程有一个三重实根;

时,方程的三个实根中有两个相等;

时,方程有三个不等的实根。

三角函数解

,其中

若令,则

卡尔丹诺法

为域,可以进行开平方或立方运算。要解方程只需找到一个根,然后把方程除以,就得到一个二次方程,而我们已会解二次方程。

在一个代数封闭域,所有三次方程都有三个根。复数域就是这样一个域,这是代数基本定理的结果。

解方程步骤:

  • 把原来方程除以首项系数,得到:
,其中
  • 代换未知项,以消去二次项。当展开,会得到这项,正好抵消掉出现于的项。故得:
,其中是域中的数字。
  • 。前一方程化为
展开:
重组:
分解:
因为多了一个未知项(代替了),所以可加入一个条件,就是:
,由此导出
  • 。我们有因为。所以是辅助方程的根,可代一般二次方程公式得解。

接下来,的立方根,适合,最后得出

在域里,若是立方根,其它的立方根就是,当然还有,其中,是1的一个复数立方根。

因为乘积固定,所以可能的。因此三次方程的其它根是

判别式

最先尝试解的三次方程是实系数(而且是整数)。因为实数域并非代数封闭,方程的根的数目不一定是3个。所遗漏的根都在里,就是的代数闭包。其中差异出现于的计算中取平方根时。取立方根时则没有类似问题。

可以证明实数根数目依赖于辅助方程的判别式

  • ,方程有一个实根和两个共轭复根;
  • ,方程有三个实根:当时,方程有一个三重实根;当时,方程的三个实根中有两个相等;
  • ,方程有三个不等的实根:其中(注意,由于此公式应对于的形式,因此这里的实际上是前段的,应用时务必注意取负号即)。

注意到实系数三次方程有一实根存在,这是因为非常数多项式极限无穷大,对奇次多项式这两个极限异号,又因为多项式是连续函数,所以从介值定理可知它在某点的值为0。

第一个例子

我们依照上述步骤进行:

  • (全式除以
  • ,代换:,再展开
  • 。设的根。

该方程的另外两个根:

第二个例子

这是一个历史上的例子,因为它是邦别利考虑的方程。

方程是

从函数算出判别式的值,知道这方程有三实根,所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做,做第三步:

的根。这方程的判别式已算出是负数,所以只有实根。很吊诡地,这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由:复数是解方程必需工具,即使方程或许只有实根。

我们解出。取复数立方根不同于实数,有两种方法:几何方法,用到辐角和模(把辐角除以3取模的立方根);代数方法,分开复数的实部和虚部: 现设

等价于:
(实部)
(虚部)
(模)

得到,也就是,而是其共轭:

归结得,可以立时验证出来。

其它根是,其中

是负,共轭,故此也是(要适当选取立方根,记得);所以我们可确保是实数,还有

盛金公式法

,其中系数皆为实数。

判别式

重根判别式:

总判别式:

情况1:

情况2:

,得:

情况3:

,得:

情况4:

,得:

极值

驻点的公式

将其微分,可得

  • 有序列表项

拐点

,可得

驻点的类型

由函数取极值的充分条件可知:
的极大值点;
的极小值点;
拐点

可知:
的驻点为极大值点;
的驻点为极小值点;
的驻点为拐点。

参见

外部链接


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