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下限拓扑

数学上,下限拓扑是定义在实数 上的拓扑。其不同于 上的标准拓扑(由开区间生成),且具有若干有趣的性质。其为全体半开区间 [a,b) 组成的生成的拓扑,其中 ab 取遍任意实数。

这样得到的拓扑空间称为Sorgenfrey直线(得名自 Robert Sorgenfrey英语Robert Sorgenfrey)或箭头,有时记为 . 与康托集长直线类似,Sorgenfrey 直线也经常作为点集拓扑学中不少似是而非的命题的反例。

与自身的也是有用的反例,称为Sorgenfrey平面

类似地,可以定义 上的上限拓扑,其性质与下限拓扑完全相同。

性质

  • 下限拓扑比实数集的标准拓扑更精细(具有更多开集)。原因是每个开区间都可写成半开区间的可数并,故在下限拓扑中也是开集。
  • 对任意实数 , 区间 都是 闭开集(既是开集,也是闭集)。而且,对任意实数 , 集合 皆为闭开集。故 完全不连通空间
  • 紧子集只能是可数集(允许是有限集)。要证明此结论,考虑非空紧集 . 取定 , 考虑 开覆盖
由于 为紧,此开覆盖具有有限子覆盖,故存在实数 使得区间 不含 以外的点。这对任意 为真。现选取有理数 . 对不同的 , 区间 两两不交,故函数 为单射,故 至多可数。
  • “下限拓扑”得名自以下性质: 中的序列(或 收敛到 当且仅当其“从右接近 ”,即对任意的 ,均存在下标 使得 . 因此可用于研究单侧极限:对函数 , 之右极限(假定陪域具有标准拓扑),等于定义域在下限拓扑下 之一般极限。
  • 分离公理而言, 完美正规豪斯多夫空间(T6 空间)。
  • 可数性公理而言, 第一可数空间可分空间,但并非第二可数空间
  • 就紧致性而言,林德勒夫空间仿紧空间,但并非σ-紧空间英语σ-compact space,也不是局部紧空间。
  • 可度量化,因为可分的度量空间必为第二可数。然而, 的拓扑是由一个预度量给出。
  • 是一个贝尔空间 。

参考资料

  1. ^ Re: Baireness of Sorgenfrey line, more details (and more accurate). at.yorku.ca. [2018-07-05]. (原始内容存档于2011-06-04).
  • Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446

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