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二元运算

二元运算属于数学运算的一种。二元运算需要三个元素:二元运算符以及该运算符作用的两个变量。如四则运算的加、减、乘、除均属于二元运算。

如在运算1+2之中,二元运算符为“+”,而该运算符作用的操作数分别为1与2。

二元运算只是二元函数的一种,由于它被广泛应用于各个领域,因此受到比其它函数更高的重视。

定义

给定集合 ,二元函数 F 称为集合 上的二元运算。给定集合 中两个元素 ,则按顺序通常写为 F 或者 F。更多时候,二元运算会采用某种运算符,而不是字母做为标记。


可以看出,“集合 上的二元运算”这样的提法暗示了该运算在 上封闭。

常用性质和术语

关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:

幺元

: 是集合 上的二元运算,,则:

  • 下的左幺元,若 满足:
  • 下的右幺元,若 满足:
  • 下的幺元,若 满足: 既是 在二元运算 下的左幺元,又是 在二元运算 下的右幺元。

逆元

: 是集合上的二元运算,,下的幺元。则:

  • 下的左逆元,若满足:
  • 下的右逆元,若满足:
  • 下的逆元,若满足:a既是下的左逆元,又是下的右逆元。(显然此时也是的逆元),若上下文明确是哪个运算,则元素的逆元通常记为

零元

: 是集合上的二元运算,,则:

  • 下的左零元,若满足:
  • 下的右零元,若满足:
  • 下的零元,若满足:z既是下的左零元,又是下的右零元。

零因子

: 是集合上的二元运算,,下的零元。则:

  • 中在下的左零因子,若满足:,使
  • 中在下的右零因子,若满足:,使
  • 下的零因子,若满足:a既是下的左零因子,又是下的右零因子。

交换律

: 是集合上的二元运算,则: 称满足交换律,若满足:

结合律

: 是集合上的二元运算,则: 称满足结合律,若满足:

消去律

: 是集合上的二元运算,则:

满足左消去律,若满足:

满足右消去律,若满足:

满足消去律,若同时满足左消去律与右消去律。

幂等律

: 是集合上的二元运算,则: 称满足幂等律,若满足:

幂幺律

: 是集合上的二元运算,i是下的幺元, 则:称满足幂幺律,若满足:(显然此时每个元素都是它自己的逆元);

幂零律

: 是集合上的二元运算,z是下的零元, 则:称满足幂零律,若满足:,有(显然此时每个元素都是零元,而且既是左零元又是右零元);

分配律

:  : 是集合上的两个二元运算,则:

  • 满足左分配律,若 满足:,有
  • 满足右分配律,若 满足:,有
  • 满足分配律,若 满足左分配律以及右分配律;



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