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二面体群

雪花有正六边形的二面体对称。
群论
Rubik's cube.svg

数学中,二面体群 是正 边形的对称群,具有 个元素。某些书上则记为 。除了 的情形外, 都是非交换群。

生成元与关系

抽象言之,首先考虑 循环群 。反射 上的自同构,而且 。定义二面体群为半直积

任取 的生成元 生成,其间的关系是

的元素均可唯一地表成 ,其中

几何诠释

n=5 的情形:反射对称
n=5 的情形:旋转对称

二面体群也可以诠释为二维正交群 中由

(旋转 弧度)
(对 x 轴反射)

生成的子群。由此不难看出 是正 n 边形的对称群。

性质

  • 的中心在 为奇数时是 ,在 为偶数时是
  • 为奇数时, 同构于 与二阶循环群的直积。同构可由下式给出:

其中

  • 为奇数时, 的所有反射(即:二阶元素)彼此共轭;当 为偶数,则反射元在共轭作用下分解成两个轨道;从几何方面解释,二者差意在于反射面是否通过正 边形的顶点
  • ,则 ,由此可导出 共有 个子群,其中的算术函数 分别代表 的正因数个数与正因数之和。

表示

为奇数时, 有两个一维不可约表示:

为偶数时, 有四个一维不可约表示:

正八边形的停车标志在群作用下的结果

其余不可约表示皆为二维,共有 个,形如下式:

其中 是任一 n 次本原单位根。由 给出的表示相等价当且仅当

文献


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