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交换子本文重定向自 交換子

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抽象代数中,一个群的交换子(commutator)或换位子是一个二元运算子。设gh 是 群G中的元素,他们的交换子g −1 h −1 gh,常记为[ g, h ]。只有当gh符合交换律(即gh = hg)时他们的交换子才是这个单位元

一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G导群,记作D(G)

群论

G中两个元素gh交换子为元素

[g, h] = g−1h−1gh

它等于群的幺元当且仅当gh可交换(即gh = hg)。

环论

结合代数上两个元素ab交换子定义为:

量子力学

量子力学中,经常用到对易关系commutation relation),即

其中;均为量子力学的算符是其对易算符,也称交换子

如果上式等于零,则称对易的,即意味着两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的,运算顺序不可以调换。

量子力学中,交换子有以下特性:

量子力学中的各个力学量之间,常用的对易关系有:

以下,是坐标算符、动量算符角动量算符(包括轨道角动量、自旋角动量等),而克罗内克δ列维-奇维塔符号。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

对易关系 更具体的形式

正则对易关系

物理学中,正则对易关系正则共轭的量之间的关系,这样的量从定义可以发现:一个量是其共轭量的傅里叶变换的结果。举例来说:

上面的xp分别为一维空间中的一点粒子的位置动量,而为所谓交换算符虚数单位约化普朗克常数,等于。此一关系常归功于马克斯·玻恩,并且此式子暗示了以海森堡为名的不确定性原理

与经典力学的关系

相对于量子力学经典物理中所有可观测量都可对易(交换),而交换算符会是零;然而仍然有类似的关系存在:需将交换子换成泊松括号,且常数换成

这样的观察导致了保罗·狄拉克提出假设:一般来说,经典的观测量其量子对应项应满足

于1927年,赫尔曼·外尔(Hermann Weyl)指出了量子算符与相空间中经典分布之间的对应关系并不成立。不过他倒是提出了一个机制,称作魏尔量子化(Weyl quantization),为了一种称作形变量子化(deformation quantization)的量子化方法提供了数学途径。

延伸阅读

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