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交错群

群论
Rubik's cube.svg

数学中,交错群alternating group)是一个有限集合偶置换。集合 {1,...,n} 上的交错群称为 n 阶交错群,或 n 个字母上的交错群,记做 An 或 Alt(n)。

例如,4 阶交错群是 A4 = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} (参见轮换记法)。

基本性质

n > 1,群 An对称群 Sn交换子群指数为 2,从而有n!/2 个元素。它是符号群同态 sgn : Sn → {1, −1} 的

An阿贝尔当且仅当 n ≤ 3,当且仅当 n = 3 或 n ≥ 5。注意 A3 事实上是 3 阶单群。A1 与 A2 是 1 阶群,一般不称为单的,而 A4 有一个非平凡正规子群从而不单。A5 是最小非阿贝尔单群,阶数为 60,也是最小不可解群

共轭类

对称群中,An 的共轭类由有相同轮换型的元素组成。但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成,这里长为 1 的轮换包含在轮换型中,则对这样的轮换型恰有两个共轭类 (Scott 1987,§11.1, p299)。

例如:

  • 两个置换 (123) 与 (132) 有相同的轮换型从而在 S3 中共轭,但在 A3 中不共轭。
  • 置换 (123)(45678) 与其逆 (132)(48765) 有相同的轮换型所以在 S8 中共轭,但在 A8 中不共轭。

自同构群

n > 3,除了 n = 6,An 的自同构群就是 Sn 的自同构群,其内自同构群An 外自同构群Z2;外自同构来自用一个奇置换共轭。

n = 1 与 2,自同构群平凡。对 n = 3 自同构群是 Z2,其内自同构群平凡外自同构群为 Z2

A6 的外自同构群是克莱因四元群 V = Z2 × Z2,这也是 S6 的自同构群A6 另外的自同构将三轮换(比如 (123))与 32 型元素(比如 (123)(456))交换。

特殊同构

在小交错群与小李型群之间有一些同构。他们是

  • A4 同构于 PSL2(3) 以及手征性四面体对称之对称群
  • A5 同构于 PSL2(4),PSL2(5),以及手征性二十面体对称之对称群。
  • A6 同构于 PSL2(9) 与 PSp4(2)'。
  • A8 同构于 PSL4(2)。

更显然有 A3 同构于循环群 Z3,以及 A1 与 A2 同构于平凡群(也是 SL1(q)=PSL1(q) 对任何 q)。

子群

A4 是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群:给定一个有限群 G 和 |G| 的一个因子 d,不一定存在 G 的一个 d 阶子群。群 G = A4,阶为 12,没有 6 阶子群。有三个元素的子群(由三个对象的轮换旋转生成)再加上任何一个其它元素生成整个群。

群同调

交错群的群同调体现了类似稳定同伦理论英语stable homotopy theory中的稳定性:对足够大的 n 是常值。

H1:阿贝尔化

第一同调群与阿贝尔化相同,因为 除去已经提到的例外是完全群完满群),从而有

for and

H2:舒尔乘子

n 等于 5 或大于等于 8 时,交错群 An舒尔乘子英语Schur multiplier是 2 阶循环群;在 6 和 7 时有一个三重复盖,则舒尔乘子的阶数为 6。

for

参考文献

  • Scott, W.R., Group Theory, New York: Dover Publications, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8
  • ***曜, 有限群导引·上册(第二版), 北京: 科学出版社, 2001, ISBN 7-03-007119-0

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