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介值定理

数学分析中,介值定理(英语:intermediate value theorem,又称中间值定理)描述了连续函数在两点之间的连续性:

假设有一连续函数 ,且假设 ,若对任意数 满足 ,则存在一点 ,使得,当 时也有类似叙述。

直观地比喻,这代表在区间上可以画出一个连续曲线,而不让笔离开纸面。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明,在这个证明中,他附带证明了波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

定理

介值定理图解

假设是一个实数里的闭区间,而连续函数,那么其像集也是区间。它或者包含(如果),或者包含(如果)。换言之:

  • ,

  • .

介值定理通常以下述等价的形式表述:假设是连续函数,且实数满足,则存在使得

证明

先证明第一种情况;第二种情况也类似。

内所有的集合,使得。那么是非空的,因为的一个元素,且是上有界的,其上界为。于是,根据实数的完备性最小上界 一定存在。我们来证明

  • 假设。那么,因此存在,使得当时,就有,因为是连续函数。但是,这样一来,当时,就有(也就是说,对于内的,都有)。因此的一个上界,与我们假设是最小上界以及矛盾。
  • 假设。根据连续性,存在一个,使得当时,就有。那么对于内的,都有,因此存在大于,使得,这与的定义矛盾。

因此

与实数完备性的关系

此定理仰赖于实数完备性,它对有理数不成立。例如函数满足,但不存在满足的有理数

零点定理(波尔查诺定理)

零点定理是介值定理的一种特殊情况-如果曲线上两点的值正负号相反,其间必定存在一个根:

设函数在闭区间上连续,且,则必存在使成立。由于零点定理可用来找一方程式的根,也称为勘根定理伯纳德·波尔查诺于1817年证明了这个定理,同时证明了这个定理的一般情况(即介值定理)。以现代的标准来说,他的证明并不算是非常严格。

现实世界中的意义

介值定理意味着在地球的任何大圆上,温度压强海拔二氧化碳浓度(或其他任何连续变化的变量),总存在两个对跖点,在这两个点上该变量的值是相同的。

证明:f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线,与圆相交于点A和点B。设df(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度,将得到值−d。根据介值定理,一定存在某个旋转角,使得d = 0,在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参见

外部链接


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