万维百科

代数几何与解析几何

数学中,代数几何与解析几何是两个关系密切的学科。代数几何研究代数簇,在复数域上,同时也能以复分析微分几何的技术研究代数簇。让-皮埃尔·塞尔在1956年的同名论文中比较了这两种观点。在 SGA 第一册附录中,则以概形论的语言重新表述。

性质的比较

给定一个 上的局部有限型概形 ,可以考虑相应的复解析空间 。此对应 定义一个从局部有限型概形范畴到复解析空间范畴的函子。对任一 -模 ,同样可考虑相应的 -模 ,这也给出相应的函子。可以证明 是一个正合、忠实且保守的函子。

论证中用到的关键性质是:平坦-模。

拓扑性质比较

为一局部可构子集(即:局部闭集的有限并集),以下 的性质在 中成立,当且仅当在 中成立:

  • 开子集
  • 闭子集
  • 稠密子集

为有限型态射时,对于 本身,下述性质也是相通的:

概形性质比较

以下性质对 成立,当且仅当对 成立:

态射性质比较

为概形的态射, 为复解析空间的相应态射,则下述性质对 成立当且仅当对 成立:

  • 平坦
  • 非分歧
  • 平展
  • 平滑
  • 正规
  • 既约
  • 分离
  • 单射(拓扑意义)
  • 同构
  • 单射(范畴论意义)
  • 开浸入

若再要求 是有限型态射,则可再加入下述性质:

  • 满射(拓扑意义)
  • 优势态射
  • 闭浸入
  • 浸入
  • 真态射
  • 有限态射

上同调比较

以下假设 是真态射,对任一个凝聚 -模 ,有自然同构:

时,遂有层上同调的比较定理:

此时 给出范畴的等价。

黎曼存在性定理

黎曼存在性定理则断言:若 -上的局部有限型概形,且 是复解析空间的有限平展覆盖,则存在 -概形 及平展态射 ,使得 。此外,函子 给出从【 的有限平展覆盖】到【 的有限平展覆盖】的范畴等价。

为连通时,此定理的一个直接推论是代数基本群与拓扑基本群的比较定理:

其中 ,而 表示代数基本群 对有限指数子群的完备化

文献


本页面最后更新于2021-05-08 00:38,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器