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代数数

各种各样的
基本

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延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

代数数代数数论中的重要概念,指任何系数多项式复根

所有代数数的集合构成一个,称为代数数域(与定义为有理数域的有限扩张代数数域同名,但不是同一个概念),记作,是复数域子域

不是代数数的实数称为超越数,例如圆周率几乎所有实数复数都是超越数,这是因为代数数的集合是可数集,而实数和复数的集合是不可数集之故。代数数的集合是可数的,是因为整系数多项式的集合是可数的,代数数的集合是为所有的整系数多项式的解集合的并集,且可数无限多的可数集的并集是可数的之故。

定义

代数数可以定义为“有理系数多项式的复根”或“整系数多项式的复根”。第一个定义可以具体描述为:

复数。如果存在正整数,以及个有理数,并且,使得:
则称是一个代数数。

这个定义中,由于可以推出,其中整数分别等于个有理数分母最小公倍数。所以“存在有理系数多项式使得是其复根”可以推出“存在整系数多项式使得是其复根”。另一方面,由于整数集合是有理数集合的子集,所以“存在整系数多项式使得是其复根”也可以推出“存在有理系数多项式使得是其复根”。这说明两个定义是等价的。

例子

任何有理数都是多项式的根,因此每个有理数都是代数数。所有形同的无理数也是代数数,因为它是多项式的根。例如是代数数,因为它们分别是方程的根。

黄金比率是代数数,因为它是的根。二次无理数,也就是二次方程的根,是代数数。虚数单位也是代数数,因为是的根。n次单位根,顾名思义,是的根,因此是代数数。高斯整数也是代数数,例如高斯整数是多项式的根。

所有规矩数(即可以从单位长度的线段出发,通过尺规作图法做出的线段的长度数值)都是代数数。因为建立直角坐标系后可以证明,标准的尺规作图步骤的每一步都相当于计算一个次数不超过2的多项式方程,因此能够通过有限步做出的线段长度必然是有限个有理系数多项式迭代后得到的多项式的根,从而是代数数。

自然对数的底圆周率都不是代数数。

性质

代数数不一定是实数,实数也不一定是代数数。代数数的集合是可数的。证明的方法是将所有整系数的多项式归类。首先定义为所有次整系数多项式的集合。其次定义为系数绝对值的和等于次整系数多项式的集合:

中多项式的任何系数至多有个可能性,最高次项系数至多有个可能性,因此这样的多项式个数不超过。每个多项式至多有个根。如果将所有中多项式的根的集合记为,则的元素个数不超过,即为有限集。

整系数多项式的集合可以写为常数多项式和的并集:

而常数多项式没有根。所以,任一代数数必然是某个中的多项式的根,即属于。反之任何中的元素按定义必然是代数数。因此代数数的集合也可以写为所有的并集:

是可数集。集合是可数个有限集的并集,因此是可数的。

由于代数数的集合是可数集,因此在复平面上,代数数集合的勒贝格测度为零。在此意义上,可以说“几乎所有”的复数都不是代数数。

给定一个代数数z,在所有以为根的有理系数多项式中,存在唯一的一个首一多项式,其次数小于等于任何其他以为根的多项式。这个多项式称为极小多项式。如果极小多项式的次数为,则称该代数数为次代数数。一次的代数数就是有理数

所有的代数数都是可计算数,因此是可定义数

代数数域

两个代数数的和、差、积与商(约定除数不为零)也是代数数。可以验证,装备了有理数的加法、乘法运算的代数数集合构成一个,有时也记为。每一个系数为代数数的多项式方程的根也是代数数。因此,代数数域是代数封闭域。实际上,它是含有有理数域的最小的代数封闭域,称为有理数域的代数闭包

由根式定义的数

任何可以从整数或有理数通过有限次四则运算和正整数次开方运算得到的数都是代数数。反之则不成立:有些代数数不能用这种方法得出。所有这些代数数都是次数不小于5的多项式的根。这是伽罗瓦理论的一个结果(参见五次方程阿贝尔-鲁菲尼定理)。一个例子是的唯一的实根(大约为)。

代数整数

代数整数是任何整系数首一多项式的根。显然代数整数是代数数的一部分,但代数数不全是代数整数。所有整数都是代数整数,其余的有理数则不是代数整数。代数整数的集合记作,是代数数的子集。在某些上下文中,为了与代数整数区别,整数也被称作有理整数。

两个代数整数的和、差与积也是代数整数,这就是说,装备了整数的加法、乘法运算的代数整数集合构成了一个环,因此代数中也被称为代数整数环。

参考文献

  • Artin, Michael, Algebra, Prentice Hall, 1991, ISBN 0-13-004763-5, MR1129886
  • Ireland, Kenneth; Vosen, Michael, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 84 Second, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1990, ISBN 0-387-97329-X, MR1070716
  • G. H. Hardy and E. M. Wright 1978, 2000 (with general index) An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition, Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
  • Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 4th, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
  • Orestein Ore 1948, 1988, Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)

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