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微分几何中,伪黎曼流形(英语:Pseudo-Riemannian manifold),也称为半黎曼流形,是一光滑流形,其上有一光滑、对称、点点非退化的 张量。此张量称为伪黎曼度量或伪度量张量

伪黎曼流形与黎曼流形的区别是它不需要正定(通常要求非退化)。因为每个正定形式都是非退化的,所以黎曼度量也是一个伪黎曼度量,亦即黎曼流形是伪黎曼流形的一种特例。

每一个非退化对称,双线性形式有一个固定的度量符号。这里记作正特征值及负特征值的个数。注意是流形的维数。黎曼流形就是以作为符号。

伪黎曼流形的符号称为洛伦兹度量。拥有洛伦兹度量的流形都是洛伦兹流形。除黎曼流形外,洛伦兹流形是伪黎曼流形的最重要的子类。因为它常被用于广义相对论广义相对论首要假设是时空可以转为拥有符号的洛伦兹流形的模型。

欧几里得空间可以被认为是黎曼流形的模型一样,,有平坦闵可夫斯基度量闵可夫斯基空间(Minkowski space) 是洛伦兹流形的模型空间。特征数为的伪黎曼流形的模型空间是有如下伪度量的:

有些黎曼度量的基本定理可以推广到伪黎曼的情形。例如黎曼几何基本定理对伪黎曼流形也成立。这使得我们能够在伪黎曼流形上能够使用列维-奇维塔联络和相关的曲率张量。另一方面,黎曼几何的很多定理在推广到伪黎曼的情况下不成立。例如,并不是每个光滑流形都可以有一个给定符号的伪黎曼度量;因为有一些特殊的拓扑阻碍存在。

  1. ^ Benn & Tucker (1987), p. 172.
  2. ^ Bishop & Goldberg (1968), p. 208

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