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伴随矩阵

线性代数

向量 向量空间 行列式 矩阵

线性代数中,一个方形矩阵伴随矩阵(英语:adjugate matrix)是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法

的伴随矩阵记作,或

定义

R是一个交换环A是一个以R中元素为系数的n×n矩阵A的伴随矩阵可按如下步骤定义:

  • 定义:A关于第i行第j列的余子式(记作Mij)是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式
  • 定义:A关于第i行第j列的代数余子式是:
  • 定义:A余子矩阵是一个n×n的矩阵C,使得其第i行第j列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式

引入以上的概念后,可以定义:矩阵A伴随矩阵A的余子矩阵的转置矩阵

也就是说,A伴随矩阵是一个n×n的矩阵(记作adj(A)),使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。 简言之,伴随矩阵就是把原来矩阵每一行的代数余子式竖着写:

例子

2x2矩阵

一个矩阵的伴随矩阵是

3x3矩阵

对于的矩阵,情况稍微复杂一点:

其伴随矩阵是:

其中

要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置,因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。

具体情况

对于数值矩阵, 例如求矩阵 的伴随矩阵

只需将数值代入上节得到的表达式中。

即:

其中,为删掉矩阵 的第 i 横列与第 j 纵行后得到的行列式,为矩阵 余因子


例如:第3行第2列的元素为

依照其顺序一一计算,便可得到计算后的结果是:

应用

作为拉普拉斯公式的推论,关于n×n矩阵A行列式,有:

其中In阶的单位矩阵。事实上,A adj(A)的第i行第i列的系数是

。根据拉普拉斯公式,等于A的行列式。

如果ij,那么A adj(A)的第i行第j列的系数是

。拉普拉斯公式说明这个和等于0(实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同,行列式为0)。

由这个公式可以推出一个重要结论:交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。

这是因为如果A可逆,那么

如果det(A)是环中的可逆元那么公式(*)表明

性质

的矩阵AB,有:

  1. 当n>2时,
  2. 如果A可逆,那么
  3. 如果A对称矩阵,那么其伴随矩阵也是对称矩阵;如果A反对称矩阵,那么当n为偶数时,A的伴随矩阵也是反对称矩阵,n为奇数时则是对称矩阵。
  4. 如果A是(半)正定矩阵,那么其伴随矩阵也是(半)正定矩阵。
  5. 如果矩阵AB相似,那么也相似。
  6. 如果n>2,那么非零矩阵A正交矩阵当且仅当

伴随矩阵的秩

当矩阵A可逆时,它的伴随矩阵也可逆,因此两者的一样,都是n。当矩阵A不可逆时,A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时,其伴随矩阵的秩为1,当A的秩小于n-1时,其伴随矩阵为零矩阵。

伴随矩阵的特征值

设矩阵A在复域中的特征值(即为特征多项式n个根),则A的伴随矩阵的特征值为

伴随矩阵和特征多项式

特征多项式,定义,那么:

,

其中的各项系数:

伴随矩阵也出现在行列式导数形式中。

参见

参考来源

  • Strang, Gilbert. Section 4.4: Applications of determinants. Linear Algebra and its Applications 3. Harcourt Brace Jovanovich. 1988: 231–232. ISBN 0-15-551005-3 (英语).[页码请求]
  • 居余马. 线性代数 2. 清华大学出版社. 2002 (中文(中国大陆)).[页码请求]

外部链接


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