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余因子矩阵本文重定向自 余因子矩阵

线性代数

向量 向量空间 行列式 矩阵

线性代数中,余因子是一种关于方阵之逆及其行列式的建构,余因子矩阵的项是带适当符号的子行列式

定义

对一个 矩阵 ,在 子行列式余子式 定义为删掉 的第 i 横列与第 j 纵行后得到的行列式。令 ,称为 余因子代数余子式)。矩阵 称作 余因子矩阵余子矩阵)。余因子矩阵的转置称为伴随矩阵,记为

范例

考虑三阶方阵

今将计算余因子 。子行列式 是下述矩阵(在 中去掉第2横行与第3纵列)之行列式:

给出

根据定义得到

余因子分解

对一 矩阵:

其行列式 可以用余因子表示:

(对第 j 纵行的余因子分解)
(对第 i 横列的余因子分解)

古典伴随矩阵

“古典伴随矩阵”(classical adjoint matrix) 是余因子矩阵的“转置矩阵”,它与逆矩阵的计算有极大的关系。


将余因子矩阵

转置之后,会得到“古典伴随矩阵”:

克莱姆法则

克莱姆法则可以用余因子写成下述简炼的形式:

时, 的逆矩阵由下式给出:

此即线性方程组理论中的克莱姆法则。

文献

  • Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

外部链接


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