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傅里叶分析

傅里叶分析,是数学的一个分支领域。它研究如何将一个函数或者信号表达为基本波形的叠加。它研究并扩展傅里叶级数傅里叶变换的概念。基本波形称为调和函数,调和分析因此得名。在过去两个世纪中,它已成为一个广泛的主题,并在诸多领域得到广泛应用,如信号处理量子力学神经科学等。

定义于Rn上的经典傅里叶变换仍然是一个十分活跃的研究领域,特别是在作用于更一般的对象(例如缓增广义函数)上的傅里叶变换。例如,如果在函数或者信号上加上一个分布f,我们可以试图用f的傅里叶变换来表达这些要求。Paley-Wiener定理就是这样的一个例子。Paley-Wiener定理直接蕴涵如果f是紧支撑的一个非零分布,(这包含紧支撑函数),则其傅里叶变换从不拥有紧支撑。这是在调和分析下的测不准原理的一个非常初等的形式。参看经典调和分析。

希尔伯特空间,傅里叶级数的研究变得很方便,该空间将调和分析泛函分析联系起来。

抽象调和分析

拓扑群上的数学分析是调和分析更现代的一个分支,源于20世纪中叶。其主要动机是各种傅里叶变换可以推广为定义在局部紧致阿贝尔群上的函数的变换。关键是证明普朗歇尔定理的类比。

局部紧致阿贝尔群上的调和分析以庞特里亚金对偶性为基石,现已有完整的理论。对于一般的局部紧拓扑群,调和分析的课题是分类其酉表示。主要对象是李群与p-进群。

对于紧群,任何不可约表示必为有限维幺正表示,彼得-外尔定理断言:不可约幺正表示的矩阵系数构成的正交基;映射具有与傅里叶变换相近的性质。借此可以深究紧群的结构。

对于非紧亦非交换的群,须考虑其无穷维表示。目前还没有一般的普朗歇尔定理,不过对等特例已有结果。

其它分支

  • 研究流形上的拉普拉斯算子
  • 欧氏空间上的傅里叶分析。由于傅里叶变换在旋转下保持不变,可析之为径向成分与球面成分,由此导向贝塞尔函数球谐函数的研究。
  • 管状域上的调和分析,这是哈代空间在高维度的推广。

延伸阅读

  • Conte, S. D.; de Boor, Carl. Elementary Numerical Analysis Third. New York: McGraw Hill, Inc. 1980. ISBN 978-0-07-066228-5.
  • Evans, L. Partial Differential Equations. American Mathematical Society. 1998. ISBN 978-3-540-76124-2.
  • Howell, Kenneth B. Principles of Fourier Analysis. CRC Press. 2001. ISBN 978-0-8493-8275-8.
  • Kamen, E. W.; Heck, B. S. Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and Matlab 2. Prentiss-Hall. 2000-03-02. ISBN 978-0-13-017293-8.
  • Knuth, Donald E. The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms 3rd. Addison-Wesley Professional. 1997. Section 4.3.3.C: Discrete Fourier transforms, pg.305. ISBN 978-0-201-89684-8.
  • Müller, Meinard. The Fourier Transform in a Nutshell (PDF). Springer. 2015. In Fundamentals of Music Processing, Section 2.1, p. 40–56 [2019-02-09]. ISBN 978-3-319-21944-8. doi:10.1007/978-3-319-21945-5. (原始内容存档 (PDF)于2020-01-20).
  • Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. Handbook of Integral Equations. Boca Raton: CRC Press. 1998. ISBN 978-0-8493-2876-3.
  • Rudin, Walter. Fourier Analysis on Groups. Wiley-Interscience. 1990. ISBN 978-0-471-52364-2.
  • Smith, Steven W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing Second. San Diego: California Technical Publishing. 1999 [2019-02-09]. ISBN 978-0-9660176-3-2. (原始内容存档于2020-11-12).
  • Stein, E. M.; Weiss, G. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton University Press. 1971. ISBN 978-0-691-08078-9.

参见

外部链接


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