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充分必要条件本文重定向自 充分条件

充分必要条件(英语:sufficient and necessary condition)简称为充要条件

逻辑学中:

  • 当命题“若P则Q”为真时,P称为Q的充分条件,Q称为P的必要条件

因此:

  • 当命题“若P则Q”与“若Q则P”皆为真时,P是Q的充分必要条件,同时,Q也是P的充分必要条件
  • 当命题“若P则Q”为真,而“若Q则P”为假时,我们称P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件,反之亦然。

必要条件

P是Q的必要条件,代表“如果P是假,则Q是假”。

逻辑符号表示:

通过否定后件,得出“如果Q是真,则P是真”。

  • 例子1:对于大于2的整数,奇数是成为素数的必要条件。如果一个整数大于2且是素数,它必定是奇数。
  • 例子2:年满30岁是成为美国参议员的必要条件。如果他是参议员,他必定年满30岁。

充分条件

P是Q的充分条件,代表“如果P是真,则Q是真”或“如果Q是假,则P是假”。

逻辑符号表示:

  • 例子1:一个数字能被4整除,是成为偶数的充分(但不必要)条件。能被2整除,则是充分及必要条件。

必要条件及充分条件

P是Q的充分及必要条件,代表“当且仅当P是真,则Q是真”。

逻辑符号表示:

留意 可以推出

举例

1.若P表“人类生存”,Q表“人类呼吸”

此时呼吸是生存的必要条件,生存是呼吸的充分条件,因为活着的人一定要呼吸,
(错误)
然而呼吸并非生存的充分条件,生存并非呼吸的必要条件,因为只会呼吸并不足以让人生存下去,
故P为Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件

2.若P表“三角形三边长相等”,Q表“三角形三内角相等”

此时这2个条件互为“充分(且)必要条件”。

参见


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