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共轭转置

线性代数

向量 向量空间 行列式 矩阵

矩阵共轭转置(英语:conjugate transpose,又称埃尔米特共轭埃尔米特转置(英语:Hermitian transpose))的定义为:

其中表示矩阵i行j列上的元素,表示标量复共轭

这一定义也可以写作:

其中是矩阵A的转置表示对矩阵A中的元素取复共轭。

通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置:

  • ,常用于线性代数
  • ,普遍用于量子力学,而同时只表示为复数共轭
  • (但这一记号通常指矩阵的摩尔-彭若斯广义逆)

注意:某些情况下也指仅对矩阵元素取复共轭,而不做矩阵转置,切勿混淆。

实例

基本评注

如果A的元素是实数,那么A*A的转置AT相等。把复值方块矩阵视为复数的推广,以及把共轭转置视为共轭复数的推广通常是非常有用的。

元素为的方块矩阵A称为:

  • 埃尔米特矩阵或自伴矩阵,如果A = A*,也就是说, ;
  • 斜埃尔米特矩阵或反埃尔米特矩阵,如果A = −A*,也就是说, ;
  • 正规矩阵,如果A*A = AA*

即使A不是方块矩阵,A*AAA*仍然是埃尔米特矩阵和半正定矩阵

性质

  • (A + B)* = A* + B*
  • (rA)* = r*A*,其中r为复数,r*r的复共轭。
  • (AB)* = B*A*,其中Amn列的矩阵,B为n行p列矩阵。
  • (A*)* = A
  • A方阵,则det(A*) = (det A)*,且tr(A*) = (tr A)*
  • A可逆矩阵当且仅当A*可逆,且有(A*)−1 = (A−1)*
  • A*特征值A的特征值的复共轭。
  • <Ax,y> = <x, A*y>,其中Amn列的矩阵,复向量x为n维列向量,复向量y为m维列向量,<·,·>为复数的内积

推广

  • 从上面给出的最后一个性质可以推出,如果我们把A视为从希尔伯特空间CnCm线性变换,则矩阵A*对应于A自伴算子。于是,希尔伯特空间之间的自伴算子可以视为矩阵的共轭转置的推广。
  • 还可以进行另外一种推广:假设A是一个从复值向量空间VW的线性映射,那么可以定义复共轭线性映射和线性映射的转置,并可以取A的共轭转置为A的转置的共轭复数。它把W的共轭对偶映射到V的共轭对偶。

参见

外部链接


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