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幂零群

群论
Rubik's cube.svg

群论里,幂零群为一拥有几乎可换之特殊性质的,经由交换子([x,y] = x-1y-1xy)的重复应用。幂零群诞生于伽罗瓦理论和对群的分类之中。其对李群的分类亦具有很重要的功用。

定义

首先先定义群G降中央列,其为一系列的群G = A0A1A2、...、Ai,其中每个Ai+1 = [Ai, G]为所有由Ai中的xG中的y所算出的所有交换子[x,y]所产生出来的G子群。因此,A1=[G,G]=G1G导群,而A2 = [G1, G],以此类推。

G为可换的,则[G,G] = E,即为其平凡子群。将此一概念延伸,则可定义一个群G幂零的,若其存在一自然数n使得An为平凡的。若n为可使得An的最小自然数,则称此一群Gn级幂零。每一个阿贝尔群都是1级幂零,除了平凡群之外,其为0级幂零。若一个群为至少m级幂零,则有时称其为零m群。

做为证明此一名词幂零使用的正当性,先取一幂零群G及其内一元素g并定义一函数f: GGf(x) = [x,g]。则这一函数为幂零的,因为其存在一自然数n使得fn,即fn次递归,将每一个G内的元素x映射至单位元

另一个定义幂零群的等价方法为采取升中央列之方式,其为一系列的群E = Z0Z1Z2、...、Zi,其中每个接续的群之定义为:

在此定义下,Z1G中心,且对于其每个接续的群而言,其商群Zi+1/Zi皆为G/Zi的中心。对一阿贝尔群来说,Z1简单为G;而一个群被称为n级幂零,若有一最小的n使得Zn = G

上述两种定义为等价的:降中央列会到达其平凡子群E当且仅当其升中央列可以达到G;此外,其n最小值在两者中也会是一样的。

例子

如上面所述,每一个阿贝尔群均为幂零。

一个小的非阿贝尔群之例子为四元群Q8。其有两个元素{1, −1}所组成的中心,且其降中央列为{1}、{1, −1}、Q8;所以其为2级幂零。实际上,每个有限多个有限p-群的直积皆是幂零的。

海森堡群为非阿贝尔幂零群的另一个例子。

性质

当每个接续的商群Zi+1/Zi皆为可换的,其序列为有限个的,且每一个幂零群都为一具有较简单结构的可解群

每一个n级幂零群的子群均为至少n级幂零;另外,若fn级幂零群的同态f的值域则为至少n级幂零的。

下列的叙述在有限群中均为等价,表现出一个幂零性的有用性质:

最后一个叙述可以被延伸至无限群的状况下:若G为一幂零群,则G的每一个西洛子群Gp都是正规的,且其西洛子群的直积会是G内有限目的所有元素所组成之子群。(见挠子群)。


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