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分裂域

抽象代数中,一个系数多项式分裂域根域)是的“最小”的一个扩域,使得在其中可以被分解为一次因式的乘积,其中的中元素。一个上的多项式并不一定只有一个分裂域,但它所有的分裂域都是同构的:在同构意义上,上的多项式的分裂域是唯一的。

术语与定义

称一个系数的多项式 的某个扩域分裂当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解(分裂)成最简单的一次因式的乘积:

其中的。换句话来说,都在中。

使得在其中分裂的扩域有很多,譬如对于某个使得分裂的的,它任意的扩域也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域,是指这样的一个扩域

  1. 里,,可以分解为一次因式的乘积;
  2. 的任何真子域(不等于自身)里,都无法如此分解。这样的扩域称为上的分裂域

例子

如果有理数域,多项式为

那么其分裂域可以是在中添加三次单位根和2的立方根而得到的扩域:。因为这时可以写作:

同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同,比如:

  • 多项式实数域 R上的分裂域是复数域 C
  • 多项式在准有限域 GF7上的分裂域是GF72.

多项式在准有限域 GF7上的分裂域是GF7,因为在其上已经分解完毕。

性质

给定多项式,在 上的分裂域,假设在,分解为

那么

对于域的一个代数闭域扩域上的一个多项式,存在上的唯一的一个分裂域,使得

对于的一个可分扩张伽罗瓦闭包是一个分裂域,也是的包含的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了中任意元素,在上的极小多项式上的分裂域。

参见

参考来源

  • Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1. [1]
  • David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [2]

外部链接


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