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分离态射

(重定向自分離概形)

数学中,分离态射概形间一类具良好几何性质的态射,由此可定义分离概形。在亚历山大·格罗滕迪克的著作中,原将一般的概形称作预概形(préschéma),而将分离概形称作概形;1967年左右改称现名。

定义

为概形。一个态射被称作分离态射,当且仅当它所给出的对角映射是闭浸入。

由此可定义上的分离概形。若取为终对象,可定义绝对的分离概形。

性质探讨

从分离性可推出:设分离,对任何里的态射,若 在一个稠密开集上相等,则。准此,可视分离概形为豪斯多夫空间在概形论里的推广。

根据定义,分离性仅与拓扑有关:分离当且仅当分离。群概形都是分离的(考虑映射)。此外;仿射概形皆属分离概形。

另一个有用的性质是:若是仿射概形,上的分离概形,且是仿射开集,则亦是仿射开集。

下述常见态射都是分离的:

  • 概形间的单射(包括开浸入与闭浸入)都是分离态射
  • 分离态射的合成仍是分离态射
  • 分离态射换底后仍是分离态射
  • 是分离态射,其亦然。
  • 是分离态射,则是分离态射。
  • 射影态射是分离态射

于是乎拟射影态射都是分离的,这涵盖了经典代数几何里的所有对象。但在概形论中,我们可透过黏合造出非分离概形;研究函子的可表性时(特别是模空间的研究)亦须仔细处理分离性。

赋值判准

分离性与豪斯多夫性质的类比给出另一种刻划。设所论概形都是局部诺特概形。仅须处理是一维时的情形,透过一些代数的论证,可化约到,其中是个离散赋值环之情形;此时态射的唯一延拓性译为下述陈述:

都是局部诺特概形,是局部有限型态射,下述陈述等价:
  • 是分离态射。
  • 对任何形如-概形,其中是离散赋值环,设的分式环;若两个-态射拉回至相等,则有

文献


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