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初等函数

初等函数(基本函数)是由常函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数等经过有限次的有理运算(、有限次乘方、有限次开方)及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数

一般来说,分段函数不是初等函数,因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。

初等函数的全体对算术运算、复合和微分(求导)是封闭的,但对求极限、无穷和以及积分不封闭。只有刘维尔函数英语Liouvillian function(初等函数及其积分)的全体对积分才是封闭的。

此外,部分初等函数不是整函数,或者在复数域上是多值函数

名称来源

之所以称这些函数为“初等函数”或“基本函数”(法语fonction élémentaire),需要从微分代数的角度考虑。尽管“初等函数”这个概念最初是由约瑟夫·刘维尔引入的,但目前的通行定义是由约瑟夫·里特给出的:

一个微分域,定义为某一个域再加上一个函数对函数的映射。其中,满足以下条件:

且该域内的任意常数都满足

在以上定义满足时,一个函数被称为上的初等函数,当且仅当该函数至少满足以下三者之一:

  • 上的代数函数
  • 上的指数性函数,意即
  • 上的对数性函数,意即

常函数

为常数函数,其中C常数,它的定义域为
常函数'"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'图像

幂函数

称形如的函数为幂函数,其中C, r为常数。幂函数的定义域与r的值有关,但是不管r取何值,该函数在上总有意义
几种常见的幂函数图像

指数函数

称形如的函数为指数函数,其中a是常数,。该函数的定义域为值域
指数函数'"`UNIQ--postMath-0000001A-QINU`"'的图像

对数函数

称形如的函数为对数函数,其中,是指数函数反函数。该函数定义域为,值域为
e, 绿色函数底数是2,而蓝色函数底数是1/2。在数轴上每个刻度是半个单位。所有底数的对数函数都通过点(1,0),因为任何数的0次幂都是1,而底数 β 的函数通过点(β ,1),因为任何数的1次幂都是自身1。曲线接近 y 轴但永不触及它,因为x=0的奇异性。

三角函数

正弦函数

称形如的函数为正弦函数,它的定义域为,值域为,最小正周期为
正弦函数图像

余弦函数

称形如的函数为余弦函数,它的定义域为,值域为,最小正周期为
余弦函数图像

正切函数

称形如的函数为正切函数,它的定义域为,值域为,最小正周期为
正切函数图像

余切函数

称形如的函数为余切函数,它的定义域为,值域为,最小正周期为
余切函数]图像

正割函数

称形如的函数为正割函数,它的定义域为,值域为,最小正周期为
正割函数图像

余割函数

称形如的函数为余割函数,它的定义域为,值域为,最小正周期为
余割函数图像

反三角函数

其它常见初等函数

双曲函数

双曲正弦函数:
双曲余弦函数:
双曲正切函数:

反双曲函数

反双曲正弦函数:
反双曲余弦函数:

扩展阅读

  • Davenport, J. H.: What Might "Understand a Function" Mean. In: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, p. 55-65. [1]页面存档备份,存于互联网档案馆

外部链接


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