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初等矩阵

线性代数

向量 向量空间 行列式 矩阵

线性代数中,初等矩阵(又称为基本矩阵)是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说,一个n阶单位矩阵E经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为n阶初等矩阵。

操作

初等矩阵分为3种类型,分别对应着3种不同的行/列变换。

两行(列)互换:
把某行(列)乘以一非零常数:
其中
把第i行(列)加上第j行(列)的k倍:

初等矩阵即是将上述3种初等变换应用于一单位矩阵的结果。以下只讨论对某行的变换,列变换可以类推。

行互换

这一变换Tij,将一单位矩阵的第i行的所有元素与第j行互换。

性质

  • 逆矩阵即自身:
  • 因为单位矩阵的行列式为1,故。与其他相同大小的方阵A亦有以下性质:

把某行乘以一非零常数

这一变换Tim),将第i行的所有元素乘以一非零常数m

性质

  • 逆矩阵为
  • 此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵
  • 其行列式。故对于一等大方阵A

把第i行加上第j行的m

这一变换Tijm),将第 i 行加上第 j 行的 m 倍,其中 m 为第 j 行第 i 列的元素。

性质

  • 逆矩阵具有性质
  • 此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵
  • 。故对于一等大方阵A有:

应用

在解线性方程组中的应用

初等行变换不影响线性方程组的解,也可用于高斯消元法,用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的(故不改变解集),但改变了矩阵的。反过来,初等列变换没有改变像却改变了核。

用于求解一个矩阵的逆矩阵

有的时候,当矩阵的阶数比较高的时候,使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时,通常使用将原矩阵和相同行数(也等于列数)的单位矩阵并排,再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵,这时,右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

另见

注释

  1. ^ elementary matrix - 基本矩陣. 国家教育研究院. [2014-04-23]. (原始内容存档于2014-09-13).
  2. ^ 蓝以中. 高等代数简明教程(上册) 第二版. 北京大学出版社. : 123. ISBN 978-7-301-05370-6.
  3. ^ 戴立辉. 线性代数. 同济大学出版社. ISBN 9787560843063.

参考

  • Axler, Sheldon Jay, Linear Algebra Done Right 2nd, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0387982590
  • Lay, David C., Linear Algebra and Its Applications 3rd, Addison Wesley, August 22, 2005, ISBN 978-0321287137
  • Meyer, Carl D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), February 15, 2001 [2010-07-02], ISBN 978-0898714548, (原始内容存档于2001-03-01)
  • Poole, David, Linear Algebra: A Modern Introduction 2nd, Brooks/Cole, 2006, ISBN 0-534-99845-3
  • Anton, Howard, Elementary Linear Algebra (Applications Version) 9th, Wiley International, 2005
  • Leon, Steven J., Linear Algebra With Applications 7th, Pearson Prentice Hall, 2006

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