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反三角函数

反三角函数示意图
几个反三角函数的图形,其中,反余切以复变分析定义,因此在原点处出现不连续断点。

数学中,反三角函数三角函数反函数

数学符号

符号等常用于等。但是这种符号有时在之间易造成混淆。

在编程中,函数, , 通常叫做, , 。很多编程语言提供两自变量atan2函数,它计算给定的反正切,但是值域为

主值

下表列出基本的反三角函数。

名称 常用符号 定义 定义域 值域
反正弦
反余弦
反正切
反余切
反正割
反余割

(注意:某些数学教科书的作者将的值域定为因为当的定义域落在此区间时,的值域,如果的值域仍定为,将会造成,如果希望,那就必须将的值域定为,基于类似的理由的值域定为

如果允许是复数,则的值域只适用它的实部。


反三角函数之间的关系

余角:

负数参数:

倒数参数:

如果有一段正弦表:

注意只要在使用了复数的平方根的时候,我们选择正实部的平方根(或者正虚部,如果是负实数的平方根的话)。

半角公式,可得到:

三角函数与反三角函数的关系

通过定义可知:

图示
Trigonometric functions and inverse3.svg
Trigonometric functions and inverse.svg
Trigonometric functions and inverse2.svg
Trigonometric functions and inverse4.svg
Trigonometric functions and inverse6.svg
Trigonometric functions and inverse5.svg

一般解

每个三角函数都周期于它的参数的实部上,在每个区间内通过它的所有值两次。正弦和余割的周期开始于结束于(这里的是一个整数),在上倒过来。余弦和正割的周期开始于结束于,在上倒过来。正切的周期开始于结束于,接着(向前)在上重复。余切的周期开始于结束于,接着(向前)在上重复。

这个周期性反应在一般反函数上:

反三角函数的导数

对于实数的反三角函数的导函数如下:

举例说明,设,得到:

因为要使根号内部恒为正,所以在条件加上,其他导数公式同理可证。

表达为定积分

积分其导数并固定在一点上的值给出反三角函数作为定积分的表达式:

等于1时,在有极限的域上的积分是瑕积分,但仍是良好定义的。

无穷级数

如同正弦和余弦函数,反三角函数可以使用无穷级数计算如下:

欧拉发现了反正切的更有效的级数:

(注意对x= 0在和中的项是空积1。)

反三角函数的不定积分

使用分部积分法和上面的简单导数很容易得出它们。

举例

使用,设

换元

换元回x得到

加法公式和减法公式

注释与引用

  1. ^ ,得到:
    因为要使根号内部恒为正,所以在条件加上
    ,得到:

    ,得到:

    ,得到:
    因为要使根号内部恒为正,所以在条件加上,比较容易被忽略是产生的绝对值的定义域是,所以,所以要加绝对值。
    ,得到:
    因为要使根号内部恒为正,所以在条件加上,比较容易被忽略是产生的绝对值的定义域是

参见

外部链接


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