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反函数

函数ƒ和它的反函数ƒ–1。由于ƒ把a映射到3,因此反函数ƒ–1把3映射回到a

数学里,反函数为对一个定函数做逆运算的函数。精确定义为,设为一函数,其定义域值域。如果存在一函数,其定义域和值域分别为,并对每一有: 则称的反函数,记之为。注意上标“−1”指的并不是,跟在三角学里特指平方的不同。 例如,若给定一函数,则其反函数为。 若一函数有反函数,此函数便称为可逆的

简单规则

一般而言,当为一任意函数,且为其反函数,则。换句话说,一反函数会取消原函数的作用。在上述例子,可以证明确为反函数,以将代入的方式,如此

类似地,也可以将代入来证明。

确实,的反函数的一等价定义,就是为于定义域上的恒等函数,且值域上的恒等函数。(其中的"o"表示函数复合

存在性

如果一函数有反函数,必须是一双射函数,即:

  • 单射陪域上的每一元素都只被映射至多一次。
  • 满射:陪域上的每一元素都必须被映射到。

不然将没有办法对某些元素定义的反函数。

为一实函数。若有一反函数,它必通过水平线测试,即一放在上的水平线必对所有实数,至多通过一次。换言之,当位于的值域时,恰好通过f图一次。

性质

  • 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
  • 原函数与其反函数的函数图像关于函数的图像对称。
  • 严格单调函数一定存在反函数,且反函数与原函数的单调性一致。
  • 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数,例如

另见


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