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古埃及分数

古埃及的分数是不同的单位分数的和,就是分子为1,分母为各不相同的正整数。任何正有理数都能表达成这一个形式。

构造

古埃及分数的表达形式不是唯一的,还未找到一个算法总是给出最短的形式。

贪婪算法

贪婪算法:将一项分数分解成若干项单分子分数后的项数最少,称为第一种好算法;最大的分母数值最小,称为第二种好算法。 例如:

。共2项,是第一种好算法,比的项数要少。

又例如, 的最大分母要小,所以是第二种好算法。

  1. 找出仅小于的最大单位分数。这个分数的分母的计算方法是:即用除以,舍去余数,再加1。(如果没有余数,则已是单位分数。)
  2. 减去单位分数,以这个新的、更小的重复步骤1。

例子:把转成单位分数。

  • ,所以第1个单位分数是
  • ,所以第2个单位分数是
  • ,所以第3个单位分数是
  • 已是单位分数。

所以结果是:

詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特斐波那契都提出过以上的方法。

Golomb算法

这个算法是基于贝祖等式的:当,互质,有无穷多对正整数解

选取最小的正整数解。取单位分数分母为,重复步骤。

为例:

  • ,所以第1个单位分数是
  • ,所以第2个单位分数是
  • 第3个单位分数是

二进制

最基本的方法就是将分数写成二进制数,便能将该分数写成分母为二的幂的单位分数之和。

换个说法就是重复求最小的正整数使得

这个方法的效率很低。

一个改善之道是选取正整数使得。选取适当的正整数)使得。将写成二进制数。

例如:

分拆

将一个分数表示成未必相异的单位分数之和。若有两个单位分数相同,可以用以下其中一种处理方式:

  1. 若它们的分母是双数,便用它们的和取代;若它们的分母是单数,设它们的分母为,用取代。
  2. 设它们的分母为,用取代。

或是可等于任意正整数

表示成为一个级数形式:

Engel展开式

历史

莱因德数学纸草书

数学史家有时论述代数的发展分为三个基本阶段:

  1. 文字代数:其问题以古代数学家所用的文字表述;
  2. 省文代数:简化问题中一些字词,以帮助理解;
  3. 符号代数:以符号代表运算符和算子,使更容易理解。

未知数以符号形式通常记为。我们从古埃及文稿得知,埃及祭司和书记采用文字代数的方式,以一个解为“堆”或“集”的字“阿哈”来表示未知数。

这是现存在伦敦的大英博物馆莱因德数学纸草书第二中间期)所载,其中一个阿哈问题的翻译:

“问题24: 一个数量和它的加起来是19。这数量是什么?”

“假设是7。7和7的是8。8要乘上多少倍以得到19,7也要乘上这样多倍以得到所要的数量。”

以现在的符号形式,,故此。检查:

注意问题中的分数。古埃及人以单位分数计算,如

一个形状如开口的象形文字是表记分数的符号,这“开口”下有象形文字的数字就是分数的分母。

参见

外部链接


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