# 可控制性

• 状态可控制性（State controllability）
• 输出可控制性（Output controllability）
• 行为框架中的可控制性（Controllability in the behavioural framework）

## 连续时间线性系统

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$
${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).}$

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}dt}$

• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$对称矩阵
• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$正定矩阵${\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}$
• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$满足以下的线性矩阵微分方程
${\displaystyle {\frac {d}{dt}}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1})+W(t,t_{1})A(t)^{T}-B(t)B(t)^{T},\;W(t_{1},t_{1})=0}$
• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$满足以下方程
${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+\phi (t_{0},t)W(t,t_{1})\phi (t_{0},t)^{T}}$

## 可控制性的秩条件

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$
${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).}$

${\displaystyle M_{k}(t)}$ = ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1}$.

${\displaystyle M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right]}$.

${\displaystyle \Sigma }$在区间${\displaystyle [t_{0},t]}$内也是解析变化，则${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle [t_{0},t]}$中的每个非平凡子区间内可控制，当且仅当存在${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$及非负变数使得${\displaystyle rank}$${\displaystyle M^{(k)}(t_{i})=n}$

${\displaystyle B_{i+1}(t)}$= ${\displaystyle A(t)B(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).}$

${\displaystyle {\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n}$

### 例子

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle B(t)={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}$${\displaystyle [B_{0}(0),B_{1}(0),B_{2}(0),B_{3}(0)]={\begin{bmatrix}0&1&0&-1\\1&0&0&0\\1&0&0&2\end{bmatrix}}}$，其矩阵秩为3，因此在${\displaystyle \mathbb {R} }$之内的每一个非平凡区间都是可控制的。

### 连续线性时不变（LTI）系统

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$
${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle n\times 1}$状态向量
${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle m\times 1}$输出向量
${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle r\times 1}$输入（或控制）向量
${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$状态矩阵
${\displaystyle B}$${\displaystyle n\times r}$输入矩阵
${\displaystyle C}$${\displaystyle m\times n}$输出矩阵
${\displaystyle D}$${\displaystyle m\times r}$前馈矩阵

${\displaystyle n\times nr}$可控制矩阵为

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$

## 离散线性时不变（LTI）系统

${\displaystyle {\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$

### 推导

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n-1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)}$

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)-A^{n}{\textbf {x}}(0)=[B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B][{\textbf {u}}^{T}(n-1)\,\,{\textbf {u}}^{T}(n-2)\,\,\cdots \,\,{\textbf {u}}^{T}(0)]^{T}.}$

### 类似n = 2的范例

• 以直线航行
• 左转或是右转任意角度（偏摆，yaw）
• 飞机朝上或是朝下任意角度（俯仰，pitch）

## 非线性系统

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x} )u_{i}}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\mathbf {g} _{1}&\cdots &\mathbf {g} _{m}&[\mathrm {ad} _{\mathbf {g} _{i}}^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{j}} ]&\cdots &[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{i}} ]\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]={\begin{bmatrix}\mathbf {f} &\cdots &j&\cdots &\mathbf {[\mathbf {f} ,\mathbf {g} ]} \end{bmatrix}}.}$

## 输出可控制性

• 状态可控制性的系统不一定会是输出可控制性的系统。例如矩阵D = 0，且矩阵C没有全秩，因为输出矩阵的结构限制，有些输出是无法达到的。即使系统的所有状态都可以在有限时间内达到，但仍然有些特定的输出是无法产生的。一个明显的例子是D=0，且矩阵C至少有一行为零，因此此系统无法让该输出有不为零的输出。
• 输出可控制性的系统也不一定会是状态可控制性的系统。例如，假如状态空间的维度大于输出的维度，针对每一个输出，都有一组可能的对应状态组态。也就是说，系统可能会有零动态（zero dynamics），也就是系统状态有变化，但是在输出上完全看不出来。因此，可以在有限时间将输出控制到特定输出，和状态的可控制性完全没有关系。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^{2}B&\cdots &CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}}$

## 可达到集合

${\displaystyle R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}}$，其中 xz表示存在一个在时间T内从x到z的状态转换。

${\displaystyle Im(R)=Im(B)+Im(AB)+....+Im(A^{n-1}B)}$,

${\displaystyle R=[B\ AB....A^{n-1}B]}$
${\displaystyle Im(R)=Im([B\ AB....A^{n-1}B])}$
${\displaystyle dim(Im(R))=rank(R)}$

${\displaystyle dim(Im(R))=n}$
${\displaystyle rank(R)=n}$
${\displaystyle Im(R)=\mathbb {R} ^{n}\quad \blacksquare }$

${\displaystyle C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}}$.

Sontag提出了可达到性（reachability）和可控制性的关系:

(a) n维离散线性系统可控制，当且仅当：

${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$（其中X为x的所有可能值或是状态，且k为时间）

(b) 连结时间线性系统可控制，当且仅当：

${\displaystyle R(0)=R^{e}{(0)=X}}$针对所有e>0。

## 脚注

1. ^ 线性时不变系统其行为也相同，不过系数不会随时间而变化。