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同构本文重定向自 同構

Fifth roots of unity
Rotations of a pentagon
5次单位根五边形的对称群是同构的。

只要一个线性变换 T:V → W 是可逆的,那么这个线性变换就称之为同构(英语:isomorphism)。

抽象代数中,同构指的是一个保持结构的双射。 在更一般的范畴论语言中,同构指的是一个态射,且存在另一个态射,使得两者的复合是一个恒等态射。

正式的表述是:同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射,那么这两个结构叫做是同构的。一般来说,如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义,单从结构上讲,同构的对象是完全等价的,也就是说,如果我们定义一个关系∼ ,使得只要V和W同构,那么 V ∼ W ,可知 ∼ 是一个等价关系

举例

对数和指数函数

对数

指数函数

复数及其共轭函数


模算数

因为中国剩余定理,若m, n是互素的,则

引入同构的目的

在数学中研究同构的主要目的是为了把数学理论应用于不同的领域。如果两个结构是同构的,那么其上的对象会有相似的属性和操作,对某个结构成立的命题在另一个结构上也就成立。因此,如果在某个数学领域发现了一个对象结构同构于某个结构,且对于该结构已经证明了很多定理,那么这些定理马上就可以应用到该领域。如果某些数学方法可以用于该结构,那么这些方法也可以用于新领域的结构。这就使得理解和处理该对象结构变得容易,并往往可以让数学家对该领域有更深刻的理解。

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