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哈尔测度

数学分析中,哈尔测度(Haar measure)是赋予局域紧致拓扑群一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。

这个测度匈牙利数学家 Alfréd Haar 于1933年发明 。哈尔测度用于数学分析数论群论表示论,估计理论和遍历理论的很多方面。

预备知识

对于一个局域紧致豪斯多夫拓扑群(G,・) ,其所有的紧子集生成的σ-代数被称为波莱尔代数(Borel algebra),波莱尔代数的元素即为波莱尔集。对于群G的元素g和子集S,可以定义S的左变换和右变换:

  • 左变换:
  • 右变换:

左/右变换使波莱尔集映射为波莱尔集。

对于一个作用于G的波莱尔子集上的测量μ,如果对所有的波莱尔子集S和所有的g

则称这个测度μ是左变换不变的。相应可以定义右变换不变性。

哈尔定理

在差一个正因子常数的情形下,如果G的波莱尔子集上的一个唯一可加的非平凡测度μ满足如下性质:

  • 对任意的g和波莱尔子集E,μ是左变换不变的:
  • 对所有的紧致集K,μ是有限的:
  • 在波莱尔集E上μ是外部正则(outer regular)的:
  • 在波莱尔开集E上μ是内部正则(inner regular)的:

那么这个G上的测度μ便被称为左哈尔测度。 特别的,如果G是紧致的那么μ(G)是有限且正的,因此总可以通过设定一归一条件μ(G) = 1,而G上唯一地指定一个左哈尔测度。

左哈尔测度对于所有的σ-有限波莱尔集都满足内部正则条件,但此条件对所有波莱尔集却不一定成立。

左哈尔测度的存在性和唯一性(相差一个因子的意义下)被André Weil第一次完整的证明。Weil的证明采用了选择公理之后Henri Cartan在避免使用此公理的情况下同样完成了证明。1963年Alfsen对Cartan的论证给出了简化而全面的表述。对于第二可数空间局域紧致群的不变测度也于1933年被Harr证明。

右哈尔测度

同样可以证明存在一个唯一(相差一个正因子的意义下)的右变换不变的波莱尔测度ν满足上面的正则条件且在紧致集合上有限,但并不要求它与左变换不变的哈尔测度μ相同。仅对于幺模群(unimodular groups)左哈尔测度与右哈尔测度才相同。ν和μ之间也有些简单的关系。

对一个波莱尔群 S, 记其中每一个元素的逆的集合为,如果定义

那么这个便构成一个右哈尔测度。其右变换不变性表现如下:

又因为右测度是唯一的,因此对于所有波莱尔集合S,μ-1和ν相差一个正因子k,满足:

哈尔积分(Haar integral)

勒贝格积分理论,可以定义G上所有波莱尔测度方程f的积分。这个积分便是哈尔积分(Haar integral). 如果μ是一个左哈尔测度,那么对任意一个方程f,都有

参看


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