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圆内接四边形

四种圆内接四边形的例子(四点共圆)

几何中,圆内接四边形四边形的一种。顾名思义,圆内接四边形的四个顶点都在同一个上。

性质

在一个圆内接四边形中,相对的两内角是互补的,它们度数之和为180。与此等价的说法是,圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。相对的两内角互补是圆内接四边形的充分必要条件,即,圆内接四边形相对的两内角互补,且相对的两内角互补的四边形是圆内接四边形(四边形四顶点共圆或说有四边形有外接圆)。

如图,ABCD为圆内接四边形,托勒密定理指出:

托勒密定理指出,圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积(如右图)。对于非退化的四边形,如果两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积,那么必定是圆内接四边形。

凸四边形的两条对角线将自身份成四个三角形。如果这个四边形是圆内接四边形,那么相对的两个三角形是相似的。如右图中,是圆内接四边形的两对角线交点,则。一个与此等价的说法是所谓的相交弦定理:设凸的圆内接四边形的两条对角线相交于一点(图中的),那么其中一条对角线被点所分成的两段的长度之乘积等于另一条对角线被点所分成的两段的长度之乘积:。相应的逆命题也成立:如果一个四边形ABCD的两条对角线交于点,且(或,或),那么四边形是圆内接四边形。

在四边形中,矩形正方形都是圆内接四边形;筝形梯形可能是圆内接四边形。如果一个四边形既是平行四边形又是圆内接四边形,那么它是一个矩形。如果一个四边形既是梯形又是圆内接四边形,那么它是一个等腰梯形。如果一个筝形是圆内接四边形,那么它至少有一对对角是直角。

面积

在已知四边的边长时,圆内接四边形的面积可通过婆罗摩笈多公式给出。若圆内接四边形的四边边长分别是, , , ,则其面积为:

其中半周长

可以证明,在所有周长为定值的圆内接四边形中,面积最大的是正方形。

参见

参考来源

  1. ^ 欧几里得,《几何原本》第三章,命题22页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ 乐嗣康,托勒密(Ptolemy) 定理与“三弦定理”的关系页面存档备份,存于互联网档案馆),《数学传播》26卷1期
  3. ^ 蔡聰明,談求面積的 Pick 公式. [2009-10-19]. (原始内容存档于2008-12-02).

外部链接


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