万维百科

基本群

代数拓扑中,基本群(或称庞加莱)是一个重要的同伦不变量。带点拓扑空间的基本群是所有从该点出发的环路的同伦等价类,群运算由环路的衔接给出。

基本群能用以研究两个空间是否同胚,也能分类一个连通空间覆叠空间(至多差一个同构)。

基本群的推广之一是同伦群

直观诠释:二维环面的情形

二维环面上由p点出发的环路

首先,让我们考虑二维环面(或者可以想象成甜甜圈的表面)的例子作为热身,固定其上一点

从此点出发,则可以建构环路(即:从出发的并回到的闭曲线)。设想环路如橡皮筋可自由变形与拉长,只要起点与终点仍是 且环路仍处在环面上即可。这种变形叫做同伦,若一环路可以从另一环路借此变形而得到,则称两者同伦等价。我们只探讨环路的同伦类。二维环面的基本群由环路的同伦类组成。

ab非同伦等价

在上图中,并非同伦等价:无法连续地从一者变换到另一者而不将环路“扯断”,它们代表基本群中的不同元素。借着增加环绕圈数,可以获得更多的同伦类。

ab两条环路的衔接

顾名思义,基本群不只是一个集合,它带还有结构:二元运算由环路的衔接给出,即先走完第一条环路,再走第二条环路,使得两段环路上的速率相同。基本群中的单位元素由静止在点的环路代表,逆元由环路的逆行代表之,即:若一元素由环路代表,则其逆元由代表,其中

形式定义

拓扑空间为其中定点。一条连续道路是一个连续映射,而一个以为基点的环路是一条满足的连续道路。以下若不另外说明,则环路皆以为基点。

对两条环路,如果存在一个连续函数(保持基点的同伦使得

则称两者同伦等价。不难验证此关系确为等价关系。因此我们可考虑环路对此关系的等价类,以表一环路隶属的等价类,亦称同伦类。

现在定两条环路的衔接为:

直观地说,此环路是先走再走,每一段都将速度加倍,以在单位时间内走完全程。可证明决定于,因此可在环路的同伦类上定义二元运算“*”。不难看出此运算满足结合律

令单位元为环路(即静止于点的环路),并令环路之逆为(即逆行)。可证明在同伦类上有明确定义,且同伦类在此运算下成为一个

此群称为在基点基本群,记为

例子

  • 对任何基点的基本群皆为平凡群。换言之,每个环路都可以连续地变形到基点。这类空间称为单连通空间。
  • 时,为单连通。
  • 圆环之基本群为。其元素一一对应于,其中表示环路绕行圆环的次数(计入方向);群运算由给出。一般而言,维环面的基本群同构于
  • 基本群也可能含挠元:例如射影平面的基本群便同构于
  • 基本群不一定可交换:例如挖去两点的平面的基本群同构于两个生成元的自由群,生成元分别对应于绕行的环路。

事实上,可以证明对任何群皆存在一个拓扑空间,使其基本群同构于(此空间可以用二维CW复形构造,当群为有限展示时则能以四维流形构造)。可以证明,每个群都是某个紧豪斯多夫空间的基本群当且仅当不存在可测基数

基本性质

对基点的独立性

以下设道路连通空间。,则同构于。这是因为存在一条从的道路,依之定义映射

此映射给出从的同构,其逆则为

由此可谈论空间本身的基本群(顶多差一个同构),记为基本广群理论也'可以简练地解释基本群对基点的独立性。

对连续映射的函子性

为空间同伦等价,则为同构。

推论.同胚的空间有相同的基本群。

积空间的基本群

与第一个同调群的关系

道路连通空间的第一个同调群是基本群的交换化。这是Hurwitz定理的特例。

计算方法与应用

范坎彭(van Kampen)定理

基本群一般不易计算,因为须证明某些环路非同伦等价。当空间可分割为较单纯的空间,而其基本群已知时,范坎彭定理(或塞弗特-范坎彭(Seifert-van Kampen)定理)可以将基本群表为一个归纳极限

锥定理与射影空间的基本群

对一个拓扑空间,定义其“锥”,其中表闭区间。当时,同胚于圆锥。

道路连通空间的锥是单连通的,我们也有自然包含映射

为连续映射,定义映射锥为

例子:设到自身的映射,此时

锥定理断言的基本群同构于的正规化的商

应用:实射影空间之基本群同构于

图、曲面与多面体的基本群

  • 的基本群总是自由群。这点可借着将图沿其最小生成树缩为一束看出。
  • 多面体的基本群可以展示为生成元与关系,使得每个关系由多面体的一个面给出。
  • 可定向紧曲面的基本群带一个有个生成元及一个关系的展示。整数决定于曲面的拓扑结构,称为其亏格

基本群与覆叠空间

基本群的子群的共轭类一一对应于空间的覆叠的同构类,在此对应下,正规子群对应于伽罗瓦覆叠。

覆叠空间理论中,业已证明了如果空间有单连通的覆叠空间(例如对局部单连通空间),则基本群同构于万有覆叠空间的自同构群。

推广

基本广群

如果一个小范畴(即:对象与全体态射构成一集合)的所有态射皆可逆,则称之为一个广群。所有广群与其间的函子构成一个范畴。群是只有一个对象的广群。

为一广群,对其对象定义下述等价关系:

得到的商集记作(或曰连通分支),这是从广群范畴到集合范畴的函子。

对每个拓扑空间,以下述方式函子地构造一广群

为拓扑空间,令的对象为的点,从点的态射是从道路的同伦类。同伦等价关系相容于道路的头尾相接,故定义了一个广群,称为基本广群

Van Kampen定理在广群的框架下有简练的表述。

为广群,而为其对象(也称作的点)。在态射合成下成为一个群,记之为。注:由于基点选取问题,并不能定义一个从广群范畴到群范畴的函子。

一个拓扑空间的基本群可以用基本广群定义为

高阶同伦群

基本群实则是第一个同伦群,这是符号中“1”的由来。

代数几何中的基本群

基本群亦可抽象地定义为纤维函子的自同构群,此纤维函子对每个带基点的覆叠映射给出纤维

此定义可以推广到代数几何,而之前给出的环路定义则不可。在此我们将拓扑空间的覆叠映射代为平展态射,拓扑空间的基点代为概形上的一个几何点,而纤维函子对一平展覆叠给出几何纤维。此推广源出格罗滕迪克与夏瓦雷。

这套理论可以解释函数域伽罗瓦理论黎曼曲面的覆叠理论之联系。

文献

  • Allen Hatcher, Algebraic Topology (2001), Cambridge University Press. ISBN 0521795400
  • J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology (1999), Chicago University Press. ISBN 0226511839

外部链接

  1. ^ Adam Przezdziecki, Measurable cardinals and fundamental groups of compact spaces, Fundamenta Mathematicae 192 (2006), 87-92 [1]页面存档备份,存于互联网档案馆

本页面最后更新于2021-06-26 20:17,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器