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外积

外积(英语:Outer product),在线性代数中一般指两个向量张量积,其结果为一矩阵;与外积相对,两向量的内积结果为标量

外积也可视作是矩阵的克罗内克积的一种特例。注意到:一些作者将“张量的外积”作为张量积的同义词。

矩阵乘法定义

向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。

给定 列向量 行向量,它们的外积被定义为矩阵,结果出自

这里的张量积就是向量的乘法。

使用坐标:

对于复数向量,习惯使用复共轭(指示为),因为人们把行向量认为是对偶空间的复共轭向量空间的元素:

如果是列向量,定义变为:

这里的共轭转置

相对于外积

如果是列向量,而且m = n,则可以采用其他方式的积,生成一个标量(或矩阵):

它是欧几里得空间的标准内积,常叫做点积

抽象定义

给定向量余向量,张量积给出映射,在同构之下。

具体的说,给定

这里的w上的求值,它生成一个标量,接着乘v

可作为替代,它是的复合。

如果,则还可以配对,这是内积

参见


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