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多值函数

图中的不是真正的函数,因为X集合中的3对应Y集合中的二个元素bc

多值函数(multivalued function,也称为multifunction)为一数学名词,是一种二元关系。其中,定义域中的每一个元素都对应陪域中的至少一个元素。

此名词来源于复分析,例如复对数函数便是其中一例。函数原本的定义中不允许的元素对应多于一个中的元素;但复分析中,为了作区分,将原来定义的函数称为单值函数

有些多值函数拥有主分支,而使得多值函数可以转化为单值函数。此时该单值函数的值称为主值(principal value)。

例子

  • 每个大于0的实数都有二个实数的平方根,例如4的平方根是{−2, +2}.,0的平方根是0。
  • 一般而言,许多不为0的复数都有二个平方根、三个立方根、n个n次方根,只有0的n次方根为0。
  • 复对数函数是多值函数。为实数)的值是,其中为任意整数。 .
  • 反三角函数为周期性的多值函数,例如
因此,arctan(1)在本质上会对应许多数值:π/4, 5π/4, −3π/4等。若限制其tan x的定义域在π/2 < x < π/2,此区域下tan x为单纯递增,则arctan(x)的值域会在π/2 < y < π/2。这种限定区域下的值称为主值英语Principal value
  • 不定积分也可以视为是多值函数,函数f的不定积分是一个函数的集合,集合中的每一个函数微分后都是f,因此不定积分存在一积分常数,因为积分常数不论本身数值多少,微分后都是0。

所有的多值函数都是来自非单射的函数,因为原始函数无法完全保存其输入的资讯,因此函数也就不可逆。

复变函数的多值函数会有分支点英语branch point,例如n次方根以及对数函数中,0是分支点,而arctan函数中,虚数单位i和−i为分支点。利用分支点可以限定范围的方式,将这些函数重新定义为单值函数。若是在实函数的例子中,这个限制的区域一般会称为函数的主分支。

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参考资料


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