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多元组

多元组泛指有限个元素所组成的序列。在数学及计算机科学分别有其特殊的意义。

数学上,n元组多元组是对象个数有限序列。元组由三部分组成:边界符、分隔符和元素。通常采用的边界符是小括号“”,分隔符是逗号。

多元组被数学家用来描述包含特定部件的数学对象。例如,有向图被定义成一个二元组(V, E),这里V是节点的集合,EV × V的子集,表示边。

类型论中,多元组与重类别相关。

多元组的名称

长度为n的多元组通常称为n元组。二元组就是一个有序对n可以是任意正整数,例如,四元数就可以被表示成一个四元组。

形式定义

多元组区别于集合的主要性质在于:(1)它可以多次含有某个对象;(2)对象按照一定顺序出现。可以看到(1)使它区别于全序集,(2)使它区别于多重集。两个n元组的相等性通常以下列规则来表明:

(a1, a2, ...,an) = (b1, b2, ..., bn) 当且仅当 a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn

另一种形式化多元组的方式是将它们作为在集合论中更基本的构造,一个方法是利用有序对。例如,一个n元组(n > 1)能够定义成其第一项和由其他项组成的 (n−1)元组组成的有序对:

(a1, a2, ..., an) = (a1, (a2, ..., an))

采用有序对的一般集合论定义,并用空集来表示0元组,就可以得到下列归纳定义:

  1. 0元组用∅表示;
  2. xn元组(a1, a2, ..., an),则 (n + 1)元组(a, a1, a2, ..., an)等同于{{a}, {a, x}}。(n≥0)

采用这个定义,(1,2,2)为

(1,(2, (2))) = (1,(2, {{2}, {2, ∅}} )) = (1, {{2}, {2, {{2}, {2, ∅}}}} ) = {{1}, {1, {{2}, {2, {{2}, {2, ∅}}}}}}

这里与LISP最初使用有序对归纳地产生其所有的n元组和表结构的方法有非常重要的类似:

  1. 特殊符号NIL表示空表;
  2. X是一个表,A是任意值,则对 (A, X)表示一个表,其(第一个元素)为A,其(表中除了第一个元素的其他元素)为X

在计算机科学中的应用

计算机科学(特别是在程序设计语言数据库关系模型),多元组通常被定义为从字段名到特定值的有限函数(在此情况又可译为值组)。其目的和在数学中一样,就是指出特定的实体,或那些包含特定部件且(或)具有特定性质的对象。但是,这里的部件透过唯一的字段名来识别,而不是透过位置,这样通常会是更用户友好的记法。

多元组的例子:

(选手:"Harry", 分数:25)

就是一个映射字段名“选手”到字符串"Harry",映射字段名“分数”到数25的函数。注意,这里各个部件的顺序是不相关的,所以这个多元组也可以写成:

(分数:25, 选手:"Harry")

关系模型,一般以这样的多元组来表示一个简单命题,比如这个多元组的意思就是有一个选手的名字叫"Harry",他的分数是25。

在程序设计语言中,多元组被用来构建数据结构。例如,下列多元组可以表示双向链表中的一个节点:

(值:16, 前驱节点:1174782, 后继节点:1174791)

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