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多项式环

环论
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抽象代数中,多项式环推广了初等数学中的多项式。一个 上的多项式环是由系数在 中的多项式构成的,其中的代数运算由多项式的乘法与加法定义。在范畴论的语言中,当 为交换环时,多项式环可以被刻划为交换 -代数范畴中的自由对象

定义

多项式函数与多项式

在初等数学与微积分中,多项式视同多项式函数,两者在一般的上则有区别。举例言之,考虑有限域 上的多项式

此多项式代任何值皆零,故给出零函数,但其形式表法非零。

我们宁愿将多项式看作形式的符号组合,以得到较便利的代数理论。且考虑多项式在域扩张之下的性质:就函数观点,多项式函数在域扩张下的行为颇复杂,上述 给出 上的零函数,但视为 上的多项式函数则非零;而就形式观点,只须将系数嵌入扩张域即可。

形式定义

于是我们采取下述定义:令 。一个单变元 的多项式 定义为下述形式化的表法:

其中 属于 ,称作 系数,而 视作一个形式符号。两多项式相等当且仅当每个 的系数均相同。次数最大的非零系数称为该多项式的领导系数,或者首项系数

更严谨的说法或许是将多项式定义为系数的序列 ,使得其中仅有有限项非零。但是我们在实践上总是用变元 及其幂次表达。

多项式的运算

以下固定环 ,我们将推广初等数学中熟悉的多项式运算。

环结构

多项式的加法由系数逐项相加定义,而乘法则由下列法则唯一地确定:

  • 分配律:对所有 上的多项式 ,恒有
  • 对所有 ,有
  • 对所有非负整数 ,有

运算的具体表法如下:

是交换环时, 是个 上的代数

多项式的合成

为另一多项式,则可定义两者的合成

求值

对于任一多项式 ,我们可考虑 求值

固定 ,则得到一个环同态 ,称作求值同态;此外它还满足

导数

微积分中,多项式的微分由微分法则 确定。虽然一般的环上既无拓扑结构更无完备性,我们仍然可形式地定义多项式的导数为:

这种导数依然满足 等性质。对于系数在域上的多项式,导数也可以判定重根存在与否。

多变元的情形

上述定义可以推广到任意个变元(包括无限个变元)的情形。对于有限变元的多项式环 ,也可以采下述构造:

先考虑两个变元 的例子,我们可以先构造多项式环 ,其次构造 。可以证明有自然同构 ,例如多项式

也可以视作

亦同。超过两个变元的情形可依此类推。

性质

  • R,则 主理想环(事实上还是个欧几里得整环)。
  • R唯一分解环,则 亦然。
  • R整环,则 亦然。
  • R诺特环,则 亦然;这是希尔伯特基底定理的内容。
  • 任一个交换环 上的有限生成代数皆可表成某个 的商环。

在数学中的角色

多项式环对理想的商是构造环的重要技术。例子包括从同余系 构造有限域,或从实数构造复数等等。

弗罗贝尼乌斯多项式是另一个跟多项式环相关的环,此环的乘法系采用多项式的合成而非乘法。


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