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奇点解消

代数几何学中,奇点解消问题探讨代数簇是否有非奇异的模型(即:与之双有理等价的非奇异代数簇)。在特征为零的域上,广中平祐已给出肯定答案,至于正特征的域,四维以上的情形至今(2007年)未解。

定义

对于一个 上的代数簇 ,若能找到一个完备非奇异代数簇与之双有理等价(换言之:有相同的函数域),则称 弱奇点解消。在实践上常会要求更容易运用的条件:若存在非奇异代数簇 及真双有理态射 ,使之在 的奇点集 之外为同构,则称 奇点解消。真态射的条件意在排除平凡解,例如

一般而言,设 ,其中 是非奇异代数簇,此时一个实用的概念是 中的强奇点解消:这是一个真双有理态射 ,满足下述条件:

  1. 由一系列对非奇异闭子簇的拉开合成,每一步取的闭子簇都横截已拉开的例外除数。
  2. 的严格变换 是非奇异的,并与横截拉开的例外除数;于是限制态射 的奇点解消。
  3. 的构造对平滑态射具函子性。
  4. 态射 中的嵌入方式无关。

广中平祐证明了:当域 的特征为零,则存在满足前两个条件的强奇点解消。他的建构后经多位数学家改进,以满足全部四个条件。

简史

代数曲线的奇点解消较容易,在19世纪已广为人知。证明方法不一:最常见的两种是相继拉开奇点,或取曲线的正规化。正规化消解的是所有余维度为一的奇点,因此仅适用于曲线。

复代数曲面的奇点解消先后由 Beppo Levi(1899年)、O. Chisini(1921年)与 G. Albanese(1924年)给出非正式的说明。第一个严谨证明由 Robert J. Walker 于1935年给出。对所有零特征均成立的代数证明由扎里斯基于1939年给出。S. S. Abhyankar 证明正特征域上的情形(1956年)。所有二维优概形(包括所有算术曲面)的奇点解消由 Lipman 在1978年证出。

消解曲面奇点的通常办法是不断将曲面正规化(以消去余维为一的奇点)并拉开奇点(以改善余维为二的奇点,但是可能会增加新的余维一的奇点)。

对于三维情形,零特征域上首先由扎里斯基证明(1944年);域特征超过 5 的情形由 S. S. Abhyankar 于1966年证明。

零特征域上任意维度的奇点消解首先由广中平祐于1964年证出。他证明可以借着相继对非奇异闭子流形作拉开以消去奇点,其证明中对维度作了相当复杂的数学归纳法。简化版的证明之后由许多数学家给出,包括 Bierstone 与 Milman(1997年),Encinas 与 Villamayor(1998年),Encinas 与 Hauser( 2002年)、Cutkosky(2004年),Wlodarczyk(2005年)及 Kollar(2007年)。某些晚近证明的长度还不及广中平祐证明的十分之一,并简单到可以在研究所导论课程中给出。关于该定理的介绍,详阅文献中 Hauser 的著作(2003),历史讨论请见 Hauser(2000)。

A. J. de Jong 在1996年提出奇点解消的另种进路,这套进路被 Bogomolov 与 Pantev(1996年)及 Abramovich 与 de Jong(1997年)用于证明零特征域上的奇点解消。De Jong 的方法对正特征域上的代数簇给出较弱的结果,然而已足以替代奇点解消的许多角色。

De Jong 证明对任意域上的代数簇 ,存在满的真态射 ,使得 非奇异。这不一定是双有理等价,函数域可能是有限扩张,故非奇点解消。De Jong 的想法是尝试将 表为一个较小空间 上的纤维化映射,使得纤维均为曲线(为此可能需要修改 ),然后借着对维度作数学归纳法消去 的奇点,最后消去纤维上的奇点。

概形的情形

奇点解消的定义容易推广到所有概形。并非所有概形都有奇点解消:格罗滕迪克(1965, EGA IV 7.9)证明了如果在一个局部诺特概形 上有限的所有整概形都有奇点解消,则 必然是拟优概形。格罗滕迪克猜测其逆为真,换言之:如果一个局部诺特概形 是拟优且既约的,则可以消解奇点。当 定义于一个零特征的上时,此陈述能由广中平祐的定理导出;一般情形则化约到整完备局部环的奇点解消问题。

外部链接

文献


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