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实数的构造

数学里,实数系统可以透过不同方式被定义。其中,基本方法通过一些公理将实数系统定为一个完备的有序数域。通过集合论公理,可以证明基本方法中给定的公理是绝对的,即是说如果有两个模型都符合那些公理,那么这两个模型必然是同构的。这样的模型须是从更基础的对象构建而成的,而多数的模型的建立都是借助于有理数域

基本方法

一个实数系统由一个集合当中的两个不同元素 0 和 1 ,上的两种二元运算 (分别叫做加法乘法),以及上的一个二元关系(即序关系)构成。 而且这个模型符合以下性质:

  1. 是一个。即
    • (加法与乘法的结合性
    • (加法与乘法的交换性
    • (乘法对加法有分配律)
    • (存在加法单位元
    • (存在乘法单位元)
    • (存在加法逆元
    • (存在乘法逆元)
  2. 是一个全序集。即
    • (自反性)
    • ,则有反对称性
    • 且,,则有传递性
    • (完全关系性)
  3. 上的两个运算 均与序关系相容。即
    • ,若(加法下保持次序)
    • ,若 ,则(乘法下保持次序)
  4. 序关系符合戴德金完备性: 若的一个非空子集上界,那么也有上确界。换言之,
    • 的一个非空子集,而且有上界,那么有一上确界,使得对的任何上界,均有

有理数域 符合前三条公理,也就是说是一个有序域(同时还满足阿基米德性,所以是一个阿基米德有序域),但 不符合最后一条公理。所以戴德金完备性这一点在实数的定义中是不可或缺的。戴德金完备性蕴含阿基米德性质。若有两个模型符合公理1-4的话,它们必然是同构的,所以在同构意义下只有一个戴德金完备的阿基米德有序域。

附注:当我们说符合以上公理的两个模型: 是同构时,即是指存在一个保持运算和序的双射。 确切地说存在满足

  • 是一个双射
  • .
  • 当且仅当

模型的具体构造

柯西序列

首先我们需要一个定义。设是一个有理数列,如果对于任何正有理数,存在一个正整数使得对于所有的整数,都有,则称有理数的柯西序列

有理数集配备上度量(即一般的绝对值)后便是一个度量空间。而透过一个叫作完备化的过程,可以往度量空间加进新点,从而使得度量空间中的所有柯西序列都收敛到某点。

以下说明实数集可定义为对于度量的完备化。(关于在其他度量下的完备化,参见p进数。)

为由有理数的柯西序列组成的集合。定义两个柯西序列的加法和乘法为:

运算得到的序列依然会是柯西序列。


称两个柯西序列是等价的,如果它们之间的差收敛到0。这样便在上定义了一个等价关系。以表示包含序列的等价类。

为包含所有等价类的集合,然后也在上定义加法和乘法:

同样地,这两个运算是良好定义的。


可以证明是一个域。我们可以把嵌入——只要把有理数对应于便可。

实数大小的比较也是透过在柯西序列上的定义而达成的: 称一个实数是正的,即,当且仅当存在自然数和正有理数,使得对一切。称当且仅当

较难推导的是的完备性,具体可以参考。

常用的小数记法可以自然地理解为柯西序列,比如说, 的记法意味着 是柯西序列 的等价类。等式则断定了序列是等价的,即它们之间的差收敛到

作为的完备化有一个好处,那就是这种方法并不限于此例;对于其他度量空间也是适用的。

戴德金分割

实数可定义为有理数集上的戴德金分割,即是有理数集的一个划分,其中都非空,而且A的每个元素都小于B的任意元素。为方便起见,不妨把划分以其下组 来代表,因为给定了 就唯一确定了 。所以直观上,实数能被所代表。

具体而言,一个实数 的符合以下条件的一个子集:

  1. 是非空集合
  2. 是向下封闭的,即:
  3. 没有最大元。也就是说,不存在,使得对任何
  • 为所有实数的集合,也就是说它包含了所有上的戴德金分割。然后在上定义这样一个全序:
  • 有理数可以嵌入到里,透过把 对应于集合。 因为有理数在有理数集内是稠密的,所以这个集合没有最大元,并满足上述的各条件。
  • 加法:
  • 减法: ,其中 代表里的补集,即
  • 负号是减法的特例:
  • 乘法的定义较不直观:
    • ,那么
    • 中有一个是负的,可以透过这定义式,把, 转化为正数的情况,再采用上面的定义来计算。
  • 类似地定义除法为:
    • ,则
    • 中有一个是负的,可以借助 的定义式,把 换成非负数,以及把换成正数,再采用上面的定义来计算。
  • 上确界:如果的非空子集 有上界的话,那么可以证明便是其上确界。

以下示范如何以戴德金分割代表根号2:设

首先,对于任何自乘小于2的正有理数 ,都存在一个大于x的有理数 ,而且有 。选择 便可。所以我们证明了 是一个实数。 要证明成立,只需指出如果是小于2的有理数,那么存在正的 ,且

这种方法的好处是每个实数都对应于唯一的分割。

小数记法

西蒙·斯蒂文 首先提出了以小数来代表一切数(即现今的实数)的想法。具体地,可以将无限小数展开式作为实数的定义,然后规定像0.9999... 和1.0000... 这样的两种展开式是等价的,再形式化地定义好四则运算和大小次序。这种方法跟柯西序列和戴德金分割这两种构造是等价的,而且它还给出了明确的收敛模英语Modulus of convergence。这种方法不限于十进制,其他的进位制也是适用的。

用小数来构造的好处是,这跟我们对于实数的基本印象相符。一个证明“完全有序域的所有模型都同构”的标准做法便是,说明任意模型都同构于这个模型,因为我们可以系统地给每个元素建立小数展开式。

超实数

首先,透过超滤子从有理数构造出超有理数域*Q 。此处的超有理数之定义为两个超整数的比。考虑由*Q里所有有界(或者说有限)元素所组成的环BB 有着唯一的极大理想 I,即无穷小量。商环 B/I 给出了实数域 。 注意B 并不是*Q的一个内在集合。 此外,这种构造在自然数集上使用了非主超滤子,而其存在性是依赖于选择公理的。

这个极大理想 I保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完备性的证明跟柯西序列一节中的论证类同。

超现实数

每个有序域都可以嵌入到超现实数系统内。而实数组成了一个符合阿基米德性质的极大子域(意味着没有实数是无穷大量)。这种嵌入方式并不是唯一的,尽管有标准的一种方式。

透过整数集(欧多克索斯实数)

一个较不为人知的构造方法只需用到整数的加法群。 这种方法已由IsarMathLib project正式验证了。 Shenitzer和Arthan将此构造称为欧多克索斯实数。

为一函数,若然是有限集,则称f殆同态。称两个殆同态几乎相等的,如果集合是有限集。如此便在殆同态上定义了一等价关系。实数被定义为各个等价类,可简单记为[f]。实数的加法,对应于殆同态的加法运算;实数的乘法,则对应于殆同态的复合运算。最后,称,若 是有界的,或者上无限多次取正值。这样便在实数上建立了全序。

参见

参考资料

  1. ^ The Real Numbers (PDF).
  2. ^ The Real Numbers (PDF).
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 Pugh, Charles Chapman. Real Mathematical Analysis. New York: Springer. 2002: 11–15. ISBN 0-387-95297-7.
  4. ^ Hersh, Reuben. What is Mathematics, Really?. New York: Oxford University Press US. 1997: 274. ISBN 0-19-513087-1.
  5. ^ Karin Usadi Katz and Mikhail G. Katz (2011) Stevin Numbers and Reality. Foundations of Science. doi:10.1007/s10699-011-9228-9 Online First. [1][永久失效链接]
  6. ^ R.D. Arthan. The Eudoxus Real Numbers. arXiv:math/0405454.
  7. ^ Norbert A'Campo. A natural construction for the real numbers. arXiv:math/0301015.
  8. ^ Ross Street. Update on the efficient reals (PDF). September 2003 [2010-10-23]. (原始内容存档 (PDF)于2011-05-14).
  9. ^ IsarMathLib.
  10. ^ Shenitzer, A. (1987) A topics course in mathematics. The Mathematical Intelligencer 9, no. 3, 44--52.

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