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对称 (数学)

对称不只出现在几何学中,也在数学领域的其他分支中出现,对称其实就是不变量,是指某特性不随数学转换英语Transformation (mathematics)而变化。

若一个物件可以借由另一个物件的不变转换来得到,二个物件借由不变转换有互相对称关系,这是一种等价关系

对称函数英语symmetric function中,函数的输出值不随输入变数的排列而改变,这些排列形成一个,也就是对称群。在欧几里得几何中的等距同构中,也有使用“对称群”一词,更广泛的用法是自同构群。

对称关系

若某一种二元关系,使得每次只要若 a 关系到 b, b 也关系到 a,则此关系称为对称关系。例如等于同余就是一种对称关系,以非数学的例子而言,“和……结婚”也是一种对称关系。

这种对称不完全是反对称关系的反义。有些关系可能同时是对称关系及反对称关系(像等于关系),也有些关系既不是对称关系也不是反对称关系

对称函数

对称函数英语symmetric function中,函数的输出值不随输入变数的排列而改变。从函数的形式中可以看出若输入变数排列后,方程式不会改变。例如

  • a2c + 3ab + b2c,在ab对调后其值不变。
  • 对于一个球体.若 φ 为其方位角,θ为其天顶角,r为半径,则大圆距离可以表示为

根据上述的距离公式,可以看出一些对称性,在以下变换下,距离不变:

天顶角各加某特定角度。
其方位角对调、天顶角对调,或是两者都对调。

代数中

对称矩阵可以视为是行编号及列编号的对称函数,行编号和列编号对调后,数值不变。一些有适当光滑性的函数,其二阶偏导数也可以视为是对称函数,参照二阶导数的对称性

一个二元关系对称关系当且仅当其布尔值函数为对称函数。

一个二元关系满足交换律若其运算子(可视为二个变数的函数)为为对称函数。满足交换律的二元关系包括联集交集对称差

伽罗瓦理论的主题在处理数学域中隐藏的对称性。

对偶也是一个和对称有关的数学概念。

几何中

在坐标空间中可以考虑几何中的对称。如果称一物件为对一给定的运算对称的话,即表示若作用在此一物件上时,此一运算并不会改变此物件或其外观。在二维几何中,较有兴趣的几种主要的对称为相对于基本之欧几里得空间等距的:平移旋转镜射滑移镜射英语Glide reflection,可以用点群表示。三维空间中的三维点群英语Point groups in three dimensions则更为复杂。

在二十世纪以前,变换群群作用)为同义词,一直到二十世纪初期才有不用群作用来定义群的抽象定义。

微分方程的对称

微分方程的对称是指不改变微分方程的变换,这些对称的知识有助于微分方程的求解。

微分方程系统英语system of differential equationsLie对称英语Lie symmetry是指一个微分方程系统的连续对称,Lie对称的知识可以借由降阶英语Reduction of order的方程简化常微分方程。

互相对称的物件

若二物件对一组给定的运算为对称的话,可以借由一个物件再配合运算,得到另一个物件,这是一种等价关系

随机性

随机性的概念一般是指其几率分布对于所有输出有最大的对称性。

若是输出只有有限个可能输出,而对于输出的重新排列有对称性,表示为离散型均匀分布。若是输出为一实数区间,而对于输出中各个长度相同的子区间可以重新排列,仍有对称性,表示为连续型均匀分布

在其他例子中,像“随机选择一个整数”或“随机选择一个实数”,其中未提及几率分布中对于输出的重新排列或重新排列长度相同的子区间有对称性。其他合理的对称性也无法限制到只允许一组几率分布,因此可以提供最大对称性的几率分布并不唯一。

例如一种可能输出所有正数的对称随机性,可以将连续型均匀分布再乘上对数,其输出和倒数的输出会有相同的分布,不过符合此条件的几率分布也不止一种。

若是在平面或是空间中的随机点,可以先选取原点,再考虑一个有圆对称性或球对称性的几率分布。

反对称

一个二个变数的函数,若满足f(y, x) = −f(x, y),此函数即为反对称。此性质隐含f(x, x) = 0(除了在特征为2的中以外)。一个反对称矩阵若视为行编号及列编号的函数,也符合相同条件。

此特性在运算子中也称为反交换律

几率论中的对称

几率论中,从一个随机事件的对称,可以推导出随机的几率分布。 例如骰子掷出任何一面都是对称的随机事件,因此样本空间 {1, 2, 3, 4, 5, 6}有几乎相同的几率。

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 屈婉玲,耿素云,张立昂. 离散数学. 北京: 清华大学出版社有限公司. 2005: 125. ISBN 7302107572.
  2. ^ Olver, Peter J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. New York: Springer Verlag. 1986. ISBN 978-0-387-95000-6.

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