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线性代数

向量 向量空间 行列式 矩阵

对角矩阵(英语:diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。因此n行n列的矩阵 = (di,j)若符合以下的性质:

则矩阵为对角矩阵。

例子

均为对角矩阵

矩阵运算

加法

乘法

逆矩阵

当且仅当 均不为零。

性质

  • 正方形对角矩阵也是对称矩阵
  • 对角矩阵是上三角矩阵下三角矩阵
  • 单位矩阵 零矩阵恒为对角矩阵。一维的矩阵也恒为对角矩阵。
  • 一个对角线上元素皆相等的对角矩阵是数量矩阵,可表示为单位矩阵及一个系数 的乘积
  • 一对角矩阵 特征值,其特征向量单位向量
  • 一对角矩阵 行列式为其特征值的乘积,即

方阵与对角矩阵相似的充分必要条件

阶方阵可进行对角化的充分必要条件是:

  • 阶方阵存在个线性无关的特征向量
    • 推论:如果这个阶方阵有阶个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵
  • 如果阶方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数

参考


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