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射影定理

射影定理(在台湾被称为“母子相似定理”)(英语:Geometric Mean Theorem),又称欧几里得定理(英语:Euclid's theorem),是平面几何中的一个定理。这个定理指出,在一个直角三角形中,一条直角边的平方,相等于三角形的斜边,乘以该边在斜边上的正投影。这个定理出现在欧几里得所著《几何原本》第一卷当中,是第 47 个命题毕氏定理证明过程的一部分。

定理内容

ΔABC 中,C = 90°,以及 CDABADBD 分别是 ACBC 在底边 AB 的正投影。

ΔABC 中,C = 90°。设 CDAB 的上的高,则有:

在这里,ADBD 分别是 ACBC 在底边 AB正投影,故定理以此为名。

证明

注意到 ΔABCΔACD相似三角形。因此可得

整理可得

同理,考虑相似三角形 ΔABCΔCBD,可得

整理可得

证明完毕。

相关定理

直角三角形面积

在上面的 ΔABC 中,我们有:

考虑三角形的面积,即可容易地证明。

勾股定理

勾股定理,是欧几里得所著《几何原本》第一卷当中的第 47 个命题。这个定理指出:

勾股定理与射影定理有密切关系。事实上,在《几何原本》中,射影定理正是该证明过程的一部分。从射影定理可知:

将两条等式相加,则可得:

由于 AD + BD = AB,因此可得:

证明完毕。

几何平均定理

几何平均定理英语Geometric mean theorem,是在《几何原本》第六卷中的第 8 个命题。这个定理指出:

也就是说,CDADBD几何平均

与射影定理一样,几何平均定理可从相似三角形得证。

一般三角形的情况

边长 ab 在底边 c 的正投影,分别是 a cos βb cos α

对于 C ≠ 90° 的情况,三角形边长的正投影可用余弦求得:

以上结果从余弦的定义直接可得。

把上面两式相加,即可得:

以上公式,又被称为“第一余弦定理”。然而,一般“余弦定理”所指的,是另一条定理(“第二余弦定理”),详见余弦定理

三维空间上的推广

三直角四面体

一个四面体。若构成顶点的三个面角皆为直角,则这是一个三直角四面体。

射影定理在三维空间上,也有相应的推广。设三直角四面体英语Trirectangular tetrahedron ABCD 中,ADB = ∠ADC = ∠BDC = 90°。又设 D 在斜面 ΔABC正投影E。我们则有:

其中 ABC] 表示 ΔABC面积

把以上三条等式相加,则可得德古阿定理

德古阿定理可以视为毕氏定理在三维空间上的其中一种推广。

一般四面体

四面体 ABCD 中,设 ΔABC 为底面。又设 DΔABC正投影E。我们则有:

其中 αβγ 分别是 ADBDCD 与底面 ΔABC 的夹角。

另外亦有:

其中 θϕψ 分别是 ΔABDΔACDΔBCD 与底面 ΔABC 的夹角。

将上面三条等式相加,可得:

是上面提到“第一余弦定理”的三维推广。

任意图形的投影

更进一步地说,面积为 S 的任意平面图形,在底面的正投影的面积 Sproj,都可用余弦求得:

其中 θ 是该平面图形与底面的夹角。

参见


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