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平坦模

抽象代数中,一个 上的平坦模是一个 - ,使得函子 保持序列的正合性;若此函子还是忠实函子,则称之为忠实平坦模

上的向量空间都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部诺特环上的有限生成模,平坦性、射影性与自由性三者等价。

塞尔的论文《代数几何与微分几何》以降,平坦性便在同调代数代数几何中扮演重要角色。其几何意义甚深,详见条目平坦态射

交换环的情形

为交换环,一个 -模的平坦性等价于 是个从 -模到-模之正合函子

将环 对一个积性子集 局部化 视作 -模,则它是平坦的。

诺特环 是有限生成 -模时,平坦性在下述意义等价于局部自由模 是平坦 -模当且仅当对任何素理想 ,局部化 是自由 -模。事实上,对条件中的 仅须考虑极大理想即可。

一般的环

非交换时的定义须作如下修改:假设 是左 -模,则称之左平坦模,当且仅当对 的张量积将右 -模的正合序列映至阿贝尔群的正合序列。

环上的张量积总是右正合函子,所以左 -模 是平坦模的充要条件是:对任何右 -模的单射 ,取张量积后的同态 仍为单射。

极限

一般来说,平坦模的归纳极限仍是平坦模;此陈述可由 的伴随性质形式地推出。平坦模的子模与商模不一定是平坦模,然而我们有下述定理:一个平坦模的同态像是平坦模,当且仅当其核为纯子模。

Lazard 在1969年证明了:模 平坦的充要条件是它可表成有限生成自由模的归纳极限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一个阿贝尔群是平坦 -模的充要条件是其中没有挠元。

同调代数

与Tor函子的关系

平坦性也可以用Tor函子的消没性表示。Tor函子是张量积的左导函子。一个左 -模 的平坦性等价于 ;类此,一个右 -模 的平坦性等价于 。藉Tor函子的长正合序列可以导出下列关于基本性质:

考虑短正合序列

  • 平坦,则 亦然。
  • 平坦,则 亦然。
  • 平坦, 不一定平坦;若假设 的纯子模而 平坦,则可推出 皆平坦。

局部判准

为交换环, 为一理想,则我们有下述平坦性的局部判准

定理(Bourbaki). 以下诸条件等价:

  1. 是平坦 -模。
  2. 是平坦 -模,且
  3. 是平坦 -模,且典范同态 为同构。
  4. 对所有 -模 ,有
  5. 对所有 -模 ,有
  6. 对所有 是平坦 -模。
  7. 是平坦 -模,且典范态射 为同构。

此判准在代数几何中的用途尤大。

平坦分解

一个模 平坦分解是如下形式的正合序列:

使得其中每个 都是平坦模。

任何射影分解都是平坦分解。

忠实平坦模

一个 -模 被称作忠实平坦的,当且仅当 是个忠实的正合函子。这也就是说:

  1. 是个平坦 -模。
  2. 典范映射 是单射。

为交换环时,有以下几种等价的刻划:

  • 是忠实平坦的。
  • 是平坦的,且
  • 是平坦的,且对所有极大理想 都有
  • 一个序列 正合,当且仅当 正合。

文献

  • Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
  • Eisenbud, David. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. New York: Springer-Verlag. 1995: xvi+785. ISBN 978-0-387-94268-1.

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