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酉矩阵本文重定向自 幺正矩阵

线性代数

向量 向量空间 行列式 矩阵

线性代数中,酉矩阵(又译作幺正矩阵,英语:unitary matrix)是一个 n×n 复数方块矩阵 U,其满足以下性质:

其中 U*U共轭转置Inn×n 单位矩阵

换句话说,酉矩阵的逆矩阵,就是其共轭转置:

酉矩阵是实数上的正交矩阵,在复数的推广。

例子

以下是一个酉矩阵的例子:

验证如下:

性质

从定义可知,酉矩阵满足以下性质:

由此可见,酉矩阵与其共轭转置 U* 矩阵乘法可交换,是正规矩阵

酉矩阵亦必定可逆,且逆矩阵等于其共轭转置:


酉矩阵 U 的所有特征值 λn ,都是绝对值等于 1 的复数:

因此,酉矩阵 U 行列式的绝对值也是 1


酉矩阵 U 不会改变两个复向量 xy点积

更一般地说,所有希尔伯特内积也不会改变:


UV 都是酉矩阵,且 UV 也是酉矩阵:


Un×n 矩阵,则下列条件等价:

  1. U 是幺正矩阵
  2. U*是幺正矩阵
  3. U列向量是在 Cn 上的一组标准正交基
  4. U行向量是在 Cn 上的一组标准正交基


给定任意的 n ,所有 n 阶幺正矩阵的集合 G 与矩阵乘法“”,都能构成一个 (G, ⋅ )

幺正对角化

幺正对角化(又译作幺正對角化,英语:unitary diagonalisation),指把一个矩阵 A 对角化成以下形式:

其中 U 是酉矩阵,D对角矩阵

根据谱定理,一个矩阵 A 可幺正对角化,当且仅当 A正规矩阵,即它与其共轭转置 A* 矩阵乘法可交换(A*A = AA*)。


由于酉矩阵本身也是一个正规矩阵,因此酉矩阵 U 也可幺正对角化:

其中 V 是酉矩阵,Σ 是对角矩阵。

参见

参考资料

  • Rowland, Todd. "Unitary Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/UnitaryMatrix.html
  • Peter V. O'Neil(2012)。高等工程数学(第7版)。黄孟槺译。华泰文化总经销,ISBN 978-1-285-10502-4。

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