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度量张量本文重定向自 度量张量

黎曼几何里面,度量张量(英语:Metric tensor)又叫黎曼度量,物理学译为度规张量,是指一用来衡量度量空间中距离,面积及角度的二阶张量

当选定一个局部坐标系统,度量张量为二阶张量一般表示为 ,也可以用矩阵 表示,记作为Gg。而 记号传统地表示度量张量的协变分量(亦为“矩阵元素”)。

的弧线长度定义如下,其中参数定为t,t由a到b:

两个切矢量的夹角 ,设矢量 ,定义为:

的局部微分同胚,其诱导出的度量张量的矩阵形式 ,由以下方程计算得出:

表示 雅可比矩阵,它的转置为 。著名例子有 之间从极坐标 到直角坐标 的坐标变换,在这例子里有:

这映射的雅可比矩阵为

所以

这跟微积分里极坐标的黎曼度量, ,一致。

例子

欧几里德几何度量

二维欧几里德度量张量:

弧线长度转为熟悉微积分方程:

在其他坐标系统的欧氏度量:

极坐标系

圆柱坐标系

球坐标系

平坦的闵可夫斯基空间 (狭义相对论):

在一些习惯中,与上面相反地,时间ct的度规分量取正号而空间 (x,y,z)的度规分量取负号,故矩阵表示为:

参看


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