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库拉托夫斯基闭包公理

库拉托夫斯基闭包公理可来定义一个集上的拓扑结构,它和以开集作定义拓朴结构的公理等价。

定义

拓朴空间 是集合 及作用在 幂集上的闭包算子

闭包算子需符合以下条件:

  1. (等幂性)

如果不要求第二个公理即幂等公理,则剩下的公理定义了预闭包算子。

等价的证明

从由闭包算子定义的拓扑空间开始。A 称为在闭合的,若。亦即,X 的闭集是闭包算子的不动点

若称“开集”为其补集为闭集的集合,则所有开集会形成一个拓扑,证明如下:

  1. 由公理4.可知为闭集;由公理1.及闭包算子的闭合性可知X 为闭集。因此,X(分别为X 的补集)为开集。
  2. X 的子集(其中为任意集合)皆为开集,由公理1.及闭集的定义可知为开集。
  3. X 的子集AB 为开集,由公理3.可知为开集。

相反地,由开集定义的拓扑也可推导至由闭包算子定义的拓扑空间。令外,也可得出下列等价的定义:

两个拓扑空间之间的函数

称为连续的,若对所有X 的子集A',

一个点称之为在内是接近A 的,若


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