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群论
Rubik's cube.svg

群论中,循环群英文:cyclic group),是指能由单个元素所生成有限循环群同构整数同余加法群Z/nZ,无限循环群则同构于整数加法群。每个循环群都是阿贝尔群,亦即其运算是可交换的。在群论中,循环群的性质已经被研究的较为透彻,是更为复杂的代数研究中常用到的基础工具。

定义

6次单位根在乘法下形成循环群。z是本原元而 z2 不是,因为z的奇数次不是z2的幂。

为一个群,若存在一G内的元素g,使得,则称G关于运算“ · ”形成一个循环群。由群G内的任意一个元素所生成的群也都是循环群,而且是G子群

分类

设有循环群。如果存在不相等的两个整数mn,使得gm = gn,那幺正整数d = |m - n|满足gd = e。所以对任意整数kgk = gr,其中rk除以d得到的余数,是一个介乎0与d - 1之间的整数。这说明G有限群。设dm是所有这样的正整数中最小的一个,则G可以表示为:

可以证明它同构于模dm的加法群。事实上,对每一个正整数n,都存在唯一一个(在同构的意义上)为此正整数n的循环群。而所有的n阶循环群都和模n的同余类构成的加法群同构。如果一个循环群的阶是无限的,那么它同构于整数关于加法构成的群。因此,循环群已被完全分类,是最简单的一种群。

例如,若,则G为循环群。G同构 6 的加法群:。只需考虑映射

可以证明其为群同态,而且是双射,因此是群同构

标记

由于循环群必然是阿贝尔群,且与加法群或整数的加法群同构,它的运算常常会以加法写出,且被标记为。然而数论中一般会避免使用这种标记,因为它和p进整数构成的或群的局部化的标记相冲突,容易混淆。因此,数论中一般直接记作,或以乘法写出,标记为

性质

每一个循环群要么同构于整数模n的加法群:,要么同构于整数的加法群。因此要研究循环群的性质,只需要研究作为加法群的性质即可。设G是一个n阶的循环群,gG中一个元素,则:

  • G交换群。这是因为g + h = h + g mod n
  • n为有限正整数,则gn = e,因为 n mod n = 0。而且n是所有使得gk = e的正整数k中最小的一个。
  • n为无限大,则G有且仅有两个生成元,分别对应于整数中的1和−1。
  • n为有限正整数,则G的各个生成元分别对应整数模n加法群中与n互质的数的同余类。例如当n =12时,G的生成元有四个,分别对应着中的四个同余类。
  • G的每一个子群都是循环群。更具体地说,每一个Gm阶有限子群皆为整数模m的加法群。而每一个G的无限子群都可以表示成,同构于
  • p素数,则阶为p的群都同构p阶循环群。
  • 两个循环群的直积是循环群,当且仅当nm互素。故的直积,而不会是的直积。
  • 阿贝尔群的基本定理说明每一个有限生成阿贝尔群都是有限多个循环群的直积。

例子

在二维和三维空间里,n旋转对称对称群Cn,属Zn抽象群类型。在三维里,亦存在其他代数地相同的对称群,详见三维点群。

需留意的是,的所有旋转所组成之群S1(圆群)不是循环的,甚至不是可数的。

  • n单位根形成一个关于乘法的n阶循环群。
  • 每一个有限域有限扩张伽罗瓦群是有限且循环的;相反地,给定一有限域F和一有限循环群G,则存在一个F的有限域扩张,其伽罗瓦群为G

表示

有限循环群的环图全是有着其元素在各个角上的n边形。下面环图中的黑角表示是单位元,而其他的角则为群的其他元素。一个环包括著连接着单位元之元素的接续之次方。

GroupDiagramMiniC1.png
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Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8

子群

所有循环群的子群商群都是循环的。特别地,Z的子群为mZ的形式,其中m为非负整数。对于不同的 m ,mZ 形式的子群是不同的,且除了当然群(m=0)外都同构ZZ的子群格同构于以可除性排序之自然数格的对偶。所有Z的商群都是有限的,除了一个当然的例外Z/{0}之外。对每个n的正约数d,群Z/nZ恰好有一个d目的子群,它由n/d的剩余类所产生。其不存在其他的子群。故其子群格会同构于以可除性排序之n的约数所组成的集合。

其中有一个很特别的:一个循环群是简单的当且仅当其目(元素数目)为素数。

举一个实际的问题,给定一个n目之有限子群C,其生成元为g,并要求求得以某一整数kgk所生成的子群之大小m。这里,m会是能使mk能被n整除之最小正整数。因此其为n/t,其中tkn最大公约数。换句话说,由gk产生之子群之指标t。其理由在数论中被称为指标计算算法

自同态

阿贝尔群Zn的自同态环会同构于此阿贝尔群,且使其构成一个。在此同构之下,数字r会对应于将每个元素映射至其n次乘积之值上之Zn的自同态。此一自同态只有在rn互素时会是个双射函数,所以Zn自同构群会同构于群Zn×(见上面)。Zn的自同构群有时会被称为Zn的特征群,且此一群的建构会直接导致对狄利克雷特征的定义。

相似地,加法群Z的自同态环会同构于环Z,且其自同构群会同构于环Z的单位群,即{−1, +1} Z2

逼肖循环群

一个群称为逼肖循环(virtually cyclic)的,如果这个群包含一个有限指数的循环子群。换言之,一个逼肖循环群的任何元素,都可表示为这个循环子群的一个元素乘以群中某个有限子集的一个元素。一个无限群是逼肖循环的,当且仅当这个群是有限生成并且正好有两个端。逼肖循环群的一个简单例子是Z/nZ直积,因子Z有有限指数n。任何格罗莫夫双曲群阿贝尔子群都是逼肖循环群。

注释

  1. ^ n也可以是无限大,约定“n为无穷大”代表群同构于整数加法群。
  2. ^ 的直积并不是一个循环群。

参考来源

  1. ^ Stallings, John, Groups of cohomological dimension one, Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, New York, 1968), Providence, R.I.: Amer. Math. Soc.: 124–128, 1970, MR 0255689. 特别见p. 126: "If G has two ends, the explicit structure of G is well known: G is an extension of a finite group by either the infinite cyclic group or the infinite dihedral group."
  2. ^ Alonso, J. M.; Brady, T.; Cooper, D.; Ferlini, V.; Lustig, M.; Mihalik, M.; Shapiro, M.; Short, H., Notes on word hyperbolic groups, Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, 1990) (PDF), River Edge, NJ: World Scientific, Corollary 3.6, 1991, MR 1170363[永久失效链接].

相关文献

  • Gallian, Joseph, Contemporary abstract algebra 4th, Boston: Houghton Mifflin, 1998, ISBN 978-0-669-86179-2 (英语), especially chapter 4.
  • Herstein, I. N., Abstract algebra 3rd, Prentice Hall, 1996, ISBN 978-0-13-374562-7, MR1375019, especially pages 53–60.

另见

  • 三维循环对称群
  • 循环扩张
  • 循环模
  • 同余

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