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态叠加原理本文重定向自 态叠加原理

双缝实验里,从光源传播出来的相干光子束,照射在一块刻有两条狭缝的不透明挡板。在挡板的后面,摆设了摄影胶卷或某种侦测屏,用来纪录到达的任何位置的光子数据。最右边黑白相间的条纹,显示出光子在侦测屏的干涉图样。

量子力学里,叠加原理(superposition principle)表明,假若一个量子系统的量子态可以是几种不同量子态中的任意一种,则它们的归一化线性组合也可以是其量子态。称这线性组合为“叠加态”。假设组成叠加态的几种量子态相互正交,则这量子系统处于其中任意量子态的概率是对应权值的绝对值平方。:316ff

数学表述,态叠加原理是薛定谔方程的解所具有的性质。由于薛定谔方程是个线性方程,任意几个解的线性组合也是解。这些形成线性组合(称为“叠加态”)的解时常会被设定为相互正交(称为“基底态”),例如氢原子电子能级态;换句话说,这几个基底态彼此之间不会出现重叠。这样,对于叠加态测量任意可观察量所得到的期望值,是对于每一个基底态测量同样可观察量所得到的期望值,乘以叠加态处于对应基底态的概率之后,所有乘积的总和。

更具体地说明,假设对于某量子系统测量可观察量,而可观察量的本征态分别拥有本征值,则根据薛定谔方程线性关系,叠加态也可以是这量子系统的量子态;其中,分别为叠加态处于本征态概率幅。假设对这叠加态系统测量可观察量,则测量获得数值是的概率分别为期望值

举一个可直接观察到量子叠加的实例,在双缝实验里,可以观察到通过两条狭缝的光子相互干涉,造成了显示于侦测屏障的明亮条纹和黑暗条纹,这就是双缝实验著名的干涉图样。

再举一个案例,在量子运算里,量子比特是的两个基底态的线性叠加。这两个基底态的本征值分别为

理论

在数学里,叠加原理表明,线性方程的任意几个解所组成的线性组合也是这方程的解。由于薛定谔方程是线性方程,叠加原理也适用于量子力学,在量子力学里称为态叠加原理。假设某量子系统的量子态可以是 ,这些量子态都满足描述这量子系统物理行为的薛定谔方程。则这量子系的量子态也可以是它们的线性组合,也满足同样的薛定谔方程;其中,是复值系数,为了归一化,必须让

假设为实数,则虽然标记同样的量子态,他们并无法相互替换。例如,分别标记两种不同的量子态。但是,都标记同一个量子态。因此可以这样说,整体的相位因子并不具有物理意义,但相对的相位因子具有重要的物理意义。这种相位因子固定不变的量子叠加称为“相干量子叠加”。:317

电子自旋范例

设想自旋电子,它拥有两种相互正交的自旋本征态,上旋态与下旋态,它们的量子叠加可以用来表示量子比特

其中,分别是复值系数,为了归一化,必须让

这是最一般的量子态。系数分别给定电子处于上旋态或下旋态的概率:

总概率应该等于1:

这电子也可能处于这两个量子态的叠加态:

电子处于上旋态或下旋态的概率分别为

再次注意到总概率应该等于1:

非相对论性自由粒子案例

描述一个非相对论性自由粒子的含时薛定谔方程:331-336

其中,约化普朗克常数是粒子的波函数是粒子的位置,是时间。

这薛定谔方程有一个平面波解:

其中,波矢角频率

代入薛定谔方程,这两个变数必须遵守关系式

由于粒子存在的概率等于1,波函数必须归一化,才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言,这不是问题。因为,自由粒子的波函数,在位置或动量方面,都是局部性的。在量子力学里,一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为很多平面波的量子叠加

其中,积分区域-空间。

为了方便计算,只思考一维空间,

其中,振幅是量子叠加的系数函数。

逆反过来,系数函数表示为

其中,是在时间的波函数。

所以,知道在时间的波函数,通过傅里叶变换,可以推导出在任何时间的波函数

参见

参考文献

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  • Dirac, P. A. M. (1930/1958). The Principles of Quantum Mechanics, 4th edition, Oxford University Press.
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