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拟阵

拟阵组合数学中的一个结构,是对向量空间线性独立这一概念的概括与归纳。拟阵有许多等价的定义,其中最主要的几个定义分别是基于独立集、基底、环路、闭集、平坦、闭包算子和秩函数。

拟阵理论从线性代数图论中借用了大量术语,主要是因为它是对这些领域中很多重要的核心概念的概括。拟阵理论在几何拓扑学组合优化网络理论编码理论中都有应用。

定义

拟阵有很多等价的定义方式。

独立集

就独立集来说, 一个有限的拟阵 是一个二元组 , 其中 是一个 有限集 (称之为 基础集) , 是一个由的子集构成的 集族 (称之为 独立集) 它需要满足下面的条件:

  1. 空集 是独立的, 也就是说, . 换个说法就是, 至少有一个 的子集是独立的, 即:.
  2. 每个独立集的子集是独立的, 即: 对于每个子集 , 如果 . 有时我们称之为 遗传特性.
  3. 如果 的两个独立子集,有更多的元素, 则在中存在一个元素,当其加入 时得到一个比更大独立子集. 有时我们称之为 扩充特性 或者叫 独立集交换特性.

头两个特性定义了一个公认的组合结构,叫做独立系统。

对于有限拟阵 ,若其基础集的子集是一个极大的独立集(即添加任何一个新的元素得到的子集都不是独立集),则将称为一个基底(英文:basis)。拟阵的一种等价定义为二元组,其中 是一个有限集, 是一个由基底构成的的子集族,称为,满足以下条件:

  1. ;(即至少存在一个基底)
  2. 对于中不同的集合以及任一元素,存在元素使得。(该条件被称为交换公理)

可以证明,一个有限拟阵的所有基底的元素个数都相同,这个数被称为拟阵的

环路

对于有限拟阵 ,若其基础集的子集是一个极小的非独立集(即去掉其中任一元素得到的子集都是独立集),则将称为一个环路(英文:circuit)。拟阵的一种等价定义为二元组,其中 是一个有限集, 是一个由环路构成的的子集族,称为的环路集,满足以下条件:

  1. 如果,则
  2. 对于中不同的集合以及元素,存在使得

可以证明,基础集的一个子集是独立集当且仅当它不包含任一环路作为子集。

秩函数

类似线性代数基底的性质,拟阵的基底具有类似的性质:的任意两个基底具有相同的元素个数。这个数字被称为拟阵的秩。

闭包

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 A standard source for basic definitions and results about matroids is Oxley (1992). An older standard source is Welsh (1976). See Bryzlawski's appendix in White (1986) pp.298–302 for a list of equivalent axiom systems.
  2. ^ Welsh (1976), Section 1.2, "Axiom Systems for a Matroid", pp. 7–9.

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