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数学原理

✸54.43: "从这个命题将遵循,算术加法被定义时,1 + 1 = 2。“卷I,第1版,379页379页页面存档备份,存于互联网档案馆)(第二版362页,362页的删节版)。(证明实际上是在卷II,完成第1版,86页86页,配以注释完成的,“上面的命题是偶尔会有用的
缩短的标题页* 56版的数学原理
我记得伯特兰·罗素告诉我一个可怕的梦。大约公元2100年,他在大学图书馆的顶楼。图书馆助理将在货架上带着一个巨大的桶,取下书籍,看着他们,让他们恢复货架或倾销到桶里。最后他来到他能识别的三大卷数学原理。他取下一个卷,翻了几页,似乎困惑一会儿,收卷,在他的手上平放着,犹豫了一下....
Hardy, G. H. 《一个数学家的辩白》. 北京: 北京大学出版社. 2004: 83 [1940]. ISBN 978-0-521-42706-7.

数学原理》(英语:Principia Mathematica)是由伯特兰·罗素与他的老师阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德合著的一本数学书籍,书籍共分三卷,分别出版于1910年,1912年,1913年。

它通常缩写为PM (Principia Mathematica),为表述所有数学真理在一组数理逻辑内的公理推理规则下,原则上都是可以证明的。因此这一雄心勃勃的项目对于数学史和哲学史都是非常重要的,然而在1931年,哥德尔不完备性定理证明对于数学原理或其他任何类似的尝试,这个崇高的目标皆永远无法达到;也就是说,任何尝试以一组公理推理规则来建立的数学系统,不是不自洽,就是不完备 (即存在一些数学真理不能由此系统推理演绎出来)。

数学原理的一个主要的灵感和动机来自于逻辑学家戈特洛布·弗雷格的工作,但伯特兰·罗素发现其允许建设有矛盾的集合(罗素悖论)。数学原理排除无限制创建任意的集合来试图避免这个问题,它以不同“类型”的集合来取代一般的集合,一组特定类型的集合只能包含套较低的类型。然而在当代数学,会使用如Zermelo-Fraenkel的集合理论体系,来避免如罗素的笨拙方式。

现代图书馆它排在二十世纪英文非虚构书籍中的第23名。

基本范围

该原理仅覆盖集理论基数序数实数。从现实分析,更深层次的定理并没有包括在内。 几何的基础第四卷已在筹划,但作者在第三卷完成后智力枯竭。

理论基础

由于在理论上由库尔特·哥德尔(下同)的批评指出,不同于形式主义理论,PM的“logicistic”理论有没有“形式主义语法明确说明”。另一种看法是,在理论上,(在模型论的意义上)解释的真值的符号的行为来表述“⊢”(真理断言),“〜”(逻辑非)和“V”(逻辑或)。

真值:PM嵌入“真”和“假”的概念,“原始命题”的概念。原料(纯)形式主义理论所不能提供形成了“原始命题”诚,符号本身可能是绝对武断和陌生的符号的含义。该理论将符号行为也只是如何基于理论的语法指定。再后来,通过“价值”的分配,模式将指定什么公式说的解释。因此,在正式的克莱尼符号下方设置,“解释”什么样的符号通常是指,并暗示他们如何最终被采用,在括号内,例如,“¬(不)”。但是,这不是一个纯粹的形式主义理论

正式的理论的当代建构

下面的形式主义理论是作为对比PM的logicistic理论。一个现代的形式系统将构造如下:

使用的符号:该组是开始集合,其它符号可以出现,而是仅由从这些开始码的定义。起始组可能是Kleene从中导出的以下一组:逻辑符号“→”(意味着,IF-THEN“⊃”),“&”(和)中,“V”(或),“¬”(不) “∀”(所有),“∃”(存在);谓词符号“=”(等于);函数符号“+”(算术加法),“∙”(算术乘法),“'”(继任者);个别符号“0”(零);变量“一”,“B”,“C”等;和括号“(”和“)”。 符号串:该理论将通过串联(并列)建立这些符号的“弦”. 形成规则:理论指定的语法规则(语法规则),通常为以“0”开头,并指定如何建立可接受的字符串或“合式公式”(Wff)递归定义这包括对于所谓的“变量”(相对于其他符号类型)中的符号串的规则对“替代”。 变换规则(S):指定符号和符号序列的行为的公理。 推理,支队规则,肯定前件:允许理论从“前提”,导致到了“分离”一个“结论”的规则,并随后放弃“处所”(符号到行的左边│或符号线之上,如果水平)。如果不是这种情况,那么取代会导致在必须进行前向越来越长的字符串。事实上,假言推理的应用程序后,没有什么是离开,但结论,剩下的永远消失。 当代理论往往指定为第一公理古典或假言推理或“脱离规则”: A,A⊃乙│乙 符号“│”通常写为水平线,这里“⊃”是指“意味着”。符号A和B是“替身”的字符串;这种形式的符号被称为“公理模式”(即,有一种特殊形式的符号可以采取可数)。这可以读取类似的方式IF-THEN但有区别:给定的符号串IF A和A蕴涵B,那么B(并保留进一步使用仅B)。但符号都没有“解释”(例如,没有“真值表”或“真值”或“真理功能”)和假言推理机制上进行,由单独的语法。

构成

PM理论既有相似之处显著,以及类似的差异,当代形式理论。克林指出,“这种演绎的数学与逻辑提供了直观希尔伯特的公理被设计成相信,或者至少被接受为关于世界的假设合理的。”事实上,PM理论不像形式主义理论,即操纵符号根据语法规则,PM引入了“真值”的概念,即在现实世界意义的真理和谬误,以及“断言真相”几乎立即作为理论结构的第五和第六元素(PM 1962:4-36):

版本差异

卷I有五个新增:

  • 附录A,编号为8.15新增谢费尔竖线
  • 附录B,编号为* 89,讨论感应没有还原性公理
  • 附录C、8页讨论命题函数
  • 8页的列表定义最后,给急需的索引使用的大约500个符号。
  • 1962年杯发表缩短平装版包含部分的第二版的卷I:新介绍,正文* 56,和附录a和C。

参见

外部链接

  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 1 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1910, JFM 41.0083.02
  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 2 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1912, JFM 43.0093.03
  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 3 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1913, JFM 44.0068.01
  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 1 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1925, ISBN 978-0521067911, JFM 51.0046.06
  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 2 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1927, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02
  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 3 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1927, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02
  • Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica to *56, Cambridge Mathematical Library, Cambridge: Cambridge University Press, 1997 [1962], ISBN 0-521-62606-4, MR 1700771, Zbl 0877.01042
  • The first edition was reprinted in 2009 by Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3, ISBN 978-1-60386-183-0, ISBN 978-1-60386-184-7.
  • Stephen Kleene 1952 Introduction to Meta-Mathematics, 6th Reprint, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0-7204-2103-9.
    • Stephen Cole Kleene; Michael Beeson. Introduction to Metamathematics Paperback. Ishi Press. March 2009. ISBN 978-0-923891-57-2.
  • Ivor Grattan-Guinness (2000) The Search for Mathematical Roots 1870–1940, Princeton University Press, Princeton N.J., ISBN 0-691-05857-1 (alk. paper).
  • Ludwig Wittgenstein 2009 Major Works: Selected Philosophical Writings, HarperrCollins, NY, NY, ISBN 978-0-06-155024-9. In particular:
Tractatus Logico-Philosophicus (Vienna 1918, original publication in German).

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