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数论

数论纯粹数学的分支之一,主要研究整数的性质。被誉为“最纯”的数学领域。

正整数按乘法性质划分,可以分成质数合数1,质数产生了很多一般人能理解却又悬而未解的问题,如哥德巴赫猜想孪生质数猜想等。即,很多问题虽然形式上十分初等,事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展,催生了大量的新思想和新方法。数论除了研究整数及质数外,也研究一些由整数衍生的数(如有理数)或是一些广义的整数(如代数整数)。

整数可以是方程式的解(丢番图方程)。有些解析函数(像黎曼ζ函数)中包括了一些整数、质数的性质,透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系,并且用有理数来逼近实数(丢番图逼近)。

数论早期称为算术。到20世纪初,才开始使用数论的名称,而算术一词则表示“基本运算”,不过在20世纪的后半,有部分数学家仍会用“算术”一词来表示数论。1952年时数学家哈罗德·达文波特英语Harold Davenport仍用“高等算术”一词来表示数论,戈弗雷·哈罗德·哈代爱德华·梅特兰·赖特在1938年写《数论介绍》简介时曾提到“我们曾考虑过将书名改为《算术介绍》,某方面而言是更合适的书名,但也容易让读者误会其中的内容”。

卡尔·弗里德里希·高斯曾说:“数学是科学的皇后,数论是数学的皇后。”

数论初期的铺垫工作

数论早期铺垫有三大内容:

  1. 欧几里得证明素数无穷多个。
  2. 寻找素数的埃拉托斯特尼筛法;欧几里得求最大公约数的辗转相除法
  3. 公元420至589年(中国南北朝时期)的孙子定理

以上工作成为现代数论的基本框架。

数论中期工作

在中世纪时,除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡斐波那契有关等差数列的研究外,西欧在数论上没有什么进展。

数论中期主要指15-16世纪到19世纪,是由费马梅森欧拉高斯勒让德黎曼希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期,对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》(Arithmetica)一书的校正及翻译为拉丁文,早在1575年Xylander曾试图翻译,但不成功,后来才由Bachet在1621年翻译完成。

早期的现代数论

费马

费马

皮埃尔·德·费马(1601–1665)没有著作出版,他在数论上的贡献几乎都在他写给其他数学家的信上,以及书旁的空白处。费马的贡献几乎没有数论上的证明,不过费马重复的使用数学归纳法,并引入无穷递降法

费马最早的兴趣是在完全数相亲数,因此开始研究整数因数,这也开始1636年之后的数学研究,也接触到当时的数学社群。他已在1643年研读过巴歇英语Claude Gaspard Bachet de Méziriac版本的丢番图著作,他的兴趣开始转向丢番图方程平方数的和。

费马在数论上的贡献有:

  • 费马小定理 (1640),若不是质数的倍数,则
  • 互质,则无法被任何除4后同余-1的质数整除,而且每个除4后同余1的质数都可以表示为.,这二个是在1640年证明的,在1649年他在写给惠更斯的信上提到他用无穷递降法证明的第二个问题,费马和福兰尼可英语Frenicle在其他平方形式上也有一些贡献,不过其中有些错误及不严谨之处。
  • 向英国的数学家提出了求解的挑战(1657年),但在几个月后就由Wallis及Brouncker证明。费马认为他们的证明有效,但用了一个在其中未经证明的算法,费马自己是由无穷递降法找到证明。
  • 发展许多找亏格0或1曲线上点的方法,作法类似丢番图,有许多特殊的步骤,使用了切线法构建曲线,而不是用割线法
  • 证明不存在非寻常的正整数解。

费马在1637年声称(费马最后定理)证明了对于大于2的任意整数,不存在 的非寻常的正整数解(目前已知唯一的证明是由数学家安德鲁·怀尔斯及其学生理查·泰勒于1994年完成的证明),但只在一本丢番图著作的旁边写到,而且他没有向别人宣称他已有了证明。

欧拉

欧拉

欧拉(1707–1783)对数论的兴趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引发,让他开始专注在费马的一些研究上,在费马没有使当代的数学家注意此一主题后,欧拉的出现称为“现代数论的重生”。欧拉数论的贡献包括以下几项:

  • 费马研究的证明,包括费马小定理(欧拉延伸到非质数的模数),以及当且仅当,这项研究可推导到所有整数都可以表示为四个平方数的证明(第一个完整证明是由约瑟夫·拉格朗日提出,费马很快的也提出证明),和没有非零整数解的证明,表示为费马最后定理时成立,欧拉用类似方式证明了的情形。
  • 佩尔方程,最早误以为是欧拉证明,欧拉也写了连分数和佩尔方程的关系。
  • 二次式,继费马之后,欧拉继续研究哪些质数可以表示为,其中有些显示二次互反律的性质 。
  • 丢番图方程欧拉研究一些亏格为0或1的丢番图方程,特别的是他研读丢番图的著作,试图要找到系统化的方法,但时机尚不成熟,几何数论才刚形成而已。欧拉有注意到丢番图方程和椭圆积分之间的关系。

分支

初等数论
意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题,最主要的工具包括整数的整除性与同余。重要的结论包括中国余数定理费马小定理二次互反律等等。
解析数论
借助微积分复分析的技术来研究关于整数的问题,主要又可以分为积性数论英语Multiplicative number theory加性数论两类。积性数论借由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题,其中质数定理狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题,华林问题是该领域最著名的课题。此外例如筛法圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。
代数数论
引申代数数的话题,关于代数整数的研究,主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题,而为了达到此目的,这个领域与代数几何之间有相当关联,比如类域论(class field theory)就是此间的颠峰之作。
算术代数几何
研究有理系数多变数方程组的有理点,其结构(主要是个数)和该方程组对应的代数簇的几何性质之间的关系,有名的费马最后定理、莫德尔猜想(法尔廷斯定理英语Faltings' theorem)、Weil猜想英语Weil conjectures,和千禧年大奖难题中的贝赫和斯维讷通-戴尔猜想都属此类。
几何数论
主要在于透过几何观点研究整数(在此即格子点)的分布情形。最著名的定理为闵可夫斯基定理
计算数论英语Computational number theory
借助电脑的算法帮助数论的问题,例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。
超越数论
研究数的超越性,其中对于欧拉常数与特定的黎曼ζ函数值之研究尤其令人感到兴趣。
组合数论
利用组合和几率的技巧,非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由保罗·埃尔德什开创的思路。
模形式
数学上一个满足一些泛函方程与增长条件、在上半平面上的(复)解析函数

应用

参考书目

外部链接


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