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无处稠密集

定义

拓扑空间(X,τ),A⊆X,称A是无处稠密的(亦称稀疏的,或称A为无处稠密集稀疏集),当且仅当A的闭包内部是空集。

例子

例如,整数实数轴R上就形成了一个无处稠密集。

注意运算的次序是很重要的。例如,有理数的集合,由于是R的子集,因此它的内部的闭包(注意不是“闭包的内部”)是空集,但不是无处稠密集;实际上,它在R上是稠密的,正好相反。

无处稠密与周围的空间也有关:有可能把一个集合考虑为X的子空间时就是无处稠密的,但考虑为Y的子空间时,就不是无处稠密的。显然,一个集合在它本身中总是稠密的。

开集和闭集

一个无处稠密集不一定是闭集(例如,集合在实数集上是无处稠密集),但一定是包含在一个无处稠密的闭集(即它的闭包)内。确实,一个集合是无处稠密集,当且仅当它的闭包是无处稠密集。

无处稠密的闭集的补集是一个稠密的开集,因此无处稠密集的补集是内部为稠密的集合。

测度为正数的无处稠密集

一个无处稠密集并不一定就是可忽略的。例如,如果X位于单位区间[0,1],不仅有可能有勒贝格测度为零的稠密集(例如有理数集),也有可能有测度为正数的无处稠密集。

例如(一个康托尔集的变体),从[0,1]内移除所有形为a/2n的最简二进分数,以及旁边的区间[a/2n − 1/22n+1, a/2n + 1/22n+1];由于对于每一个n,这最多移除了总和为1/2n+1的区间,留下的无处稠密集的测度就至少是1/2(实际上刚刚大于0.535……,因为重叠的原因),因此在某种意义上表示了[0,1]的大多数空间。

把这个方法进行推广,我们可以在单位区间内构造出任意测度小于1的无处稠密集。

参见

外部链接


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