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无穷大

不同字体下的∞符号

无穷无限大,来自于拉丁文的“infinitas”,即“没有边界”的意思。其数学符号为∞。它在科学神学哲学数学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。

在神学方面,根据书面记载无穷这个符号最早被用于某些秘密宗教,通常代表人类中的神性,而书写此符号时两圆的不对等代表人神间的差距,例如神学家邓斯·司各脱(Duns Scotus)的著作中,上帝的无限能量是运用在无约束上,而不是运用在无限量上。在哲学方面,无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面,无穷又作为无限,很多文章都探讨过无限、绝对、上帝和芝诺悖论等的问题。

在数学方面,无穷与下述的主题或概念相关:数学的极限阿列夫数集合论中的戴德金无限集合英语Dedekind-infinite set罗素悖论超实数射影几何扩展的实轴以及绝对无限。在一些主题或概念中,无穷被认为是一个超越边界而增加的概念,而不是一个数。

历史

早期无限的观点

最早关于无限的记载出现在印度夜柔吠陀(公元前1200-900)。书中说:“如果你从无限中移走或添加一部分,剩下的还是无限。”

印度耆那教的经书《Surya Prajnapti》(c. 400 BC) 把数分作三类:“可计的”、“不可计的”及“无限”。每一类再细分成三种阶:

  • 可计的:小的、中的与大的。
  • 不可计的:接近不可计的、真正不可计的、没有方法去计的,以及无限也包括在内。
  • 无限:接近无限、真正无限与无穷无尽。

现代科学家解析古代羊皮卷中的阿基米德手稿(Archimedes Palimpsest英语Archimedes Palimpsest),在残卷《方法》命题14中,发现阿基米德开始计算无穷大的数目。他采取近似于19世纪微积分集合论的手法,计算了两组无穷大的集合,以求和的方法,证明它们之间的数目是相等的。

这是在人类记载上第一次出现无限也可以分类这一个念头。

文艺复兴时代至近代

伽利略最先发现一个集合跟它自己的真子集可以有相同的大小。

他用上一一对应的概念说明自然数集{1, 2, 3, 4 ...}跟子集平方数集{1,4,9,16,...}一样多。就是1→1、2→4、3→9、4→16、.....

一一对应正是用于研究无限必要的手法。

数学中的无穷

无限大的符号

无限大的符号是,其UnicodeU+221E INFINITY,在LaTeX中表示为\infty

无限大的符号是1655年由约翰·沃利斯开始使用,在开始使用后,也用在数学以外的领域,例如现代神秘主义及符号学。

微积分及实分析中的无穷

莱布尼茨是提出许多有关其在数学中应用的猜测。对莱布尼茨而言,无穷大和无穷小量都是理想的实体,和一般数值的本质不同,不过有类似的性质。

实分析中,符号称为“无穷大”,代表无界极限表示超出任意给定值,表示最终小于任意给定值。

一函数积分的结果可能会是无限大,若对于所有的tf(t) ≥ 0,则

  • 意思是f(t) 在的范围内,其面积是无限大。
  • 意思是在f(t)以下的总面积无限大。
  • 意思是在f(t)以下的总面积是有限的,且总面积等于

无穷大也可以用来描述无穷级数

  • 意思是无穷级数的和会收敛到某一定值
  • 意思是无穷级数的和会发散

若将标记为的点加入到实数组成的拓扑空间,就产生实数集的“两点紧致化”。再加入代数属性,就得到了扩展的实数轴。也可将作为一个点,记作,并得到实数的“一点紧致化”,也就是实射影线英语Real projective line射影几何在平面几何上引入无穷远线,在高维上也有类似概念。

复变分析中的无穷

复变分析中符号是指没有正负号的极限值是指x的大小 会超过任意给定的数值。可以在复平面上加上无穷远点,变成一个拓扑空间,即为复平面的一点紧化。若完成后,所得的平面是一维的复流形黎曼曲面,称为黎曼球面。也可以定义在其上的代数运算(不过有一个例外,无限大不能和本身相加)。另一方面,有无限大表示可以除以零,而对于任何不为0的复数z,因此可以将亚纯函数对映到黎曼球面上,只要将极点对应到无穷远点即可。复变函数的定义域也可以加入无穷远点,例如莫比乌斯变换的函数。

无穷大和无穷小

一般讲无穷指的都是无穷大,但是无穷小也是一种无穷。通过的映射即可把无穷大映射为无穷小。在微积分中,常用高阶无穷小的概念。

无穷远点

无穷远点是一个加在实轴上后得到实射影直线的点。

集合论中的无穷

无穷集合和其真子集的一对一对应

集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出,对应于不同无穷集合的元素的个数(基数),有不同的“无穷”。

这里比较不同的无穷的“大小”的时候,唯一的办法就是通过是否可以建立“一一对应关系”来判断,而抛弃了欧几里得“整体大于部分”的看法。例如整数集和自然数集由于可以建立一一对应的关系,它们就具有相同的基数

例如,

  • 可数集合,如自然数集整数集乃至有理数集对应的基数被定义为(阿列夫零)。
  • 可数集合“大”的称之为不可数集合,如实数集,其基数与自然数的幂集相同,为
  • 由于一个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数,所以通过构造一系列的幂集,可以证明超穷基数的个数是无穷的。然而有趣的是,超穷基数的个数比任何基数都多,从而它是一个比任何无穷大都要大的“无穷大”,它不能对应于一个基数,否则会产生某种形式的康托尔悖论

几何学和拓扑学

无限的空间常用在几何学拓扑学中,尤其是在分类空间英语classifying space,也就是Eilenberg−MacLane空间英语Eilenberg−MacLane space。常见的例子包括无限维的复射影空间英语complex projective spaceK(Z,2),以及无限维的实射影空间K(Z/2Z,1)。

分形

科赫曲线的前四次迭代

分形的结构可以重复的放大,分形可以无限次的放大,但不会变的圆滑,而且仍维持原有的结构,分形的周长是无限的,有些的面积无限,但有些的面积却是有限。像科赫曲线就是有无限周长和有限面积的例子。

没有无穷的数学

利奥波德·克罗内克怀疑无限的概念,也怀疑1870年代及1880年代时数学家使用无限的方式。这种怀疑主义形成一种称为有限主义数学哲学,是属于数学结构主义数学直觉主义中的一种极端形式。

物理中的无穷

在物理上,实数的近似会用在连续量英语Continuum (theory)的量测上,自然数的近似会用在离散的量测上。因此科学家假设没有可观察量会到无穷的数值[来源请求],这是因为科学家很自然的,事实上已经是默认的接受了这样的事情:即在真实的物理场景里,是不存无穷大的可观测物理量的。在例如在扩展的实轴上取一个无穷的值,或是需要计算某个无穷次事件的次数。因此会预设没有任何物体会有无穷的质量或是能量。有些事物的概念和无限有关,例如无限平面波,但现今尚没有方法可以由实验产生无限平面波。

电脑计算中的无穷

IEEE 754浮点数标准中定义了正无限大及负无限大,定义为溢位除以零或其他异常程序的结果。

JavaJ语言编程语言允许在程式中直接用类似常数的方式存取正负无限大。正负无限大可以作为最大元,因为比所有其他的数都大(或是小)。正负无限大也可以做为像排序搜寻窗函数算法中的哨兵值英语sentinel value,找到这个值时可以结束计算。

在一些没有最大或最小元素,但允许关系运算子多载的编程语言中,程序员也可以“创建”最大及最小元素。若语言不允许直接存取最大或最小元素,但有浮点数的形态,也可以用特定的运算产生正负无限大,再进行其他处理。

微软Visual Studio 用无穷大符号作为图标

艺术及认知科学中的无穷

透视艺术使用了消失点或是无穷远点的概念.也就是放在观察者无穷远处的一个点。因此画家可以绘制有现实感空间及距离的作品。艺术家莫里茨·科内利斯·埃舍尔就常将无穷的概念用在他的作品中。

认知科学家乔治·莱考夫将数学及科学中无限的概念视为一个隐喻。这个观点是基于简单的无限隐喻,定义为一直递增的数列<1,2,3,...>。

无限的符号常浪漫的表示永恒的爱,许多现代的珠宝就在其造型中加入无限的符号。

Crypton Future Media角色主唱系列中 CV-03 巡音流歌的人物形象即包含无穷大的符号以象征“循环、巡回”之意。

相关条目

参考资料

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