曼德博集合

定义

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}$

${\displaystyle z=0}$ 开始对 ${\displaystyle f_{c}(z)}$ 进行迭代

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c,n=0,1,2,...}$
${\displaystyle z_{0}=0\,}$
${\displaystyle z_{1}=z_{0}^{2}+c=c\,}$
${\displaystyle z_{2}=z_{1}^{2}+c=c^{2}+c\,}$

${\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}$

特性

• 自相似
• 面积为1.5065918561

相关的定理

定理一

${\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}$，则 ${\displaystyle c\in {M}}$

证明：

${\displaystyle |z_{1}|=|c|\leq {\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}}$

第一步：

${\displaystyle n=2\,}$

${\displaystyle |z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\leq |c^{2}|+|c|=|c|^{2}+|c|}$

${\displaystyle |c|^{2}+|c|\leq {\frac {1}{16}}+{\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}}$

第二步：

${\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\leq |z_{n}|^{2}+|c|<\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}}$

定理二

${\displaystyle c\in {M}}$，则 ${\displaystyle |c|\leq {2}}$

证明：

${\displaystyle |z_{1}|=|c|,|z_{1}|>2\,}$

第一步：

${\displaystyle n=2\,}$

${\displaystyle |z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\geq |c^{2}|-|c|=|c|^{2}-|c|}$

${\displaystyle |c|>2\,}$，左右同乘 ${\displaystyle |c|\,}$ 再减去 ${\displaystyle |c|\,}$ 可得到下式

${\displaystyle |c|^{2}-|c|>2|c|-|c|=|c|\,}$

第二步：

${\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|}$

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,}$

${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$，左右同乘 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 再减去 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 可得到下式

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,}$

${\displaystyle |z_{n+1}|\geq |z_{n}|^{2}-|c|}$ 再取极限得 ${\displaystyle a\geq a^{2}-|c|}$${\displaystyle a^{2}-a\leq |c|}$

${\displaystyle a^{2}-a=a(a-1)\geq a>|c|}$，矛盾，故${\displaystyle |z_{n}|\,}$发散。

定理三

${\displaystyle c\in {M}}$，则 ${\displaystyle |z_{n}|\leq {2},(n=1,2,...)}$

证明：

${\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|}$

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,}$

${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$，左右同乘 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 再减去 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 可得到下式

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,}$

${\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}$，则 ${\displaystyle c\notin {M}}$，故得证。

计算的方法

For Each c in Complex
repeats = 0
z = 0
Do
z = z^2 + c
repeats = repeats + 1
If repeats > MaxRepeats Then
Draw c,Black                                            '如果迭代次数超过MaxRepeats，就将c认定为属于曼德博集合，并设置为黑色。
Else
Draw c,color(z,c,repeats)                               'colo函数用来决定颜色。
End If
Next


决定颜色的一些方法

1. 直接利用循环终止时的Repeats
2. 综合利用z和Repeats
3. Orbit Traps

Mathematica代码

mand = Compile[{{z0, _Complex}, {nmax, _Integer}},
Module[{z = z0, i = 1},
While[i < nmax && Abs[z] <= 2, z = z^2 + z0; i++]; i]];
ArrayPlot[
[email protected]@
Table[mand[x + y I, 500], {x, -2, 2, 0.01}, {y, -2, 2, 0.01}]]


各种图示

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参考资料

1. ^ Mrob.com pixel counting. [2012-01-01]. （原始内容存档于2019-08-10）.
2. ^ Mrob.com area history