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有序对

数学中,有序对是两个对象的搜集,使得可以区分出其中一个是“第一个元素”而另一个是“第二个元素”(第一个元素和第二个元素也叫做左投影右投影)。带有第一个元素a和第二个元素b的有序对通常写为(a, b)。

符号(a, b)也表示在实数轴上的开区间;在有歧义的场合可使用符号

一般性

设(a1, b1)和(a2, b2)是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为:

有序对可以有其他有序对作为投影。所以有序对使得能够递归定义有序n-元组n项的列表)。例如,有序三元组 (a,b,c)可以定义为(a, (b,c)),一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中,就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如,列表 (1 2 3 4 5)变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用这种列表作为基本数据结构。

有序对的概念对于定义笛卡尔积关系是至关重要的。

有序对的集合论定义

诺伯特·维纳在1914年提议了有序对的第一个集合论定义:

他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透过集合便能表达。(在《数学原理》中,所有元数关系都是原始概念。)

标准Kuratowski定义

公理化集合论中,有序对(a,b)通常定义为库拉托夫斯基对:

陈述“x是有序对p的第一个元素”可以公式化为

而陈述“xp的第二个元素”为

注意这个定义对于有序对p = (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }仍是有效的;在这种情况下陈述(∀ Y1p, ∀ Y2p : Y1Y2 → (x Y1x Y2))显然是真的,因为不会有Y1Y2的情况。

变体定义

上述有序对的定义是“充足”的,在它满足有序对必须有的特征性质(也就是:如果(a,b)=(x,y)则a=xb=y)的意义上,但也是任意性的,因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义

  1. (a,b)reverse:= { {b}, {a,b} }
  2. (a,b)short:= { a, {a,b} }
  3. (a, b)01:= { {0,a}, {1,b} }

“逆”(reverse)对基本不使用,因为它比通用的Kuratowski对没有明显的优点(或缺点)。“短”(short)对有一个缺点,它的特征性质的证明会比Kuratowski对的证明更加复杂(要使用正规公理);此外,因为在集合论中数2有时定义为集合{ 0, 1 } = { {}, {0} },这将意味着2是对 (0,0)short

证明有序对的特征性质

Kuratowski对: 证明:(a,b)K = (c,d)K当且仅当a=cb=d

仅当:

如果a=b,则 (a,b)K = {{a}, {a,a}} = { {a} },且 (c,d)K = {{c},{c,d}} = { {a} }。所以{c} = {a} = {c,d},或c=d=a=b
如果ab,则{{a}, {a,b}} = {{c},{c,d}}。
如果{c,d} = {a},则c=d=a或{{c},{c,d}} = {{a}, {a,a}} = {{a}, {a}} = { {a} }。但这样{{a}, {a, b}}就会等于{{a}},继而b = a,跟先前的假设矛盾。
如果{c} = {a,b},则a=b=c,这矛盾于ab。所以{c} = {a},即c=a,且{c,d} = {a,b}。
并且如果d=a,则{c,d} = {a,a} = {a}≠{a,b}。所以d=b
所以同样有a=cb=d

当:

反过来,如果a=c并且b=d,则显然{{a},{a,b}} = {{c},{c,d}}。所以 (a,b)K = (c,d)K


对: (a,b)reverse = {{b},{a,b}} = {{b},{b,a}} = (b,a)K

如果 (a,b)reverse = (c,d)reverse,则 (b,a)K = (d,c)K。所以b=da=c
反过来,如果a=cb=d,则显然{{b},{a,b}} = {{d},{c,d}}。所以 (a,b)reverse = (c,d)reverse

Quine-Rosser定义

Rosser(1953年)扩展了蒯因的有序对定义。Quine-Rosser的定义要求自然数的先决定义。设是自然数的集合,内的相对差集,并定义:

φ(x)包含在x中所有自然数的后继,和x中的所有非数成员。特别是,φ(x)不包含数0,所以对于任何集合AB

以下是有序对 (A,B)的定义:

提取这个对中那些不包含0的所有元素,然后再还原的作用,就得出了A。类似的,B可以通过提取这个对的包含0的所有元素来复原。

有序对的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中,这个对与它的投影有相同的类型(所以术语叫做“类型齐平”有序对)。因此一个函数(定义为有序对的集合),有只比序对的投影的类型高1的类型。对蒯因集合论中有序对的广泛的讨论请参见Holmes (1998)。

Morse定义

Morse(1965年)提出的Morse-Kelley集合论可以自由的使用真类。Morse定义有序对的方法,使得它的投影可以是真类或者集合。(Kuratowski定义不允许这样)。它首先像Kuratowski的方式那样,定义投影为集合的有序对。接着,他重定义对 (x,y)为

这里的笛卡尔积是指由Kuratowski对组成的集合并且

这便允许了定义以真类为投影的有序对。

参见

引用

  1. ^ J. Barkley Rosser, 1953. Logic for Mathematicians. McGraw-Hill.
  2. ^ Holmes, Randall (1998) Elementary Set Theory with a Universal Set页面存档备份,存于互联网档案馆. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web. Copyright is reserved.
  3. ^ Morse, Anthony P., 1965. A Theory of Sets. Academic Press

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